3×5＋1＝16.
對16施行變換得 16÷2＝8.
將這種變換繼續下去，有
8÷2＝4， 4÷2＝2，
2÷2＝1， 1×3＋1＝4，
4÷2＝2， 2÷2＝1，
……
有趣的是，對于數5，按照上面所要求的規則不斷變換下去，最終出現形如
4→2→1→4→2→1→……的重復.
還可以以6為例按上述指定規則進行變換，得到
6→3→10→5→16→8
4→2→1→4→2→1→……
再如18，
18→9→28→14→7→22→
11→34→17→52→26→13→
40→20→10→5→16→8→
我們發現在這種指定變換下，無論開始是哪個自然數，最終總得到形如
4→2→1→4→2→1的循環、重復.
遺憾的是我們不能僅憑列舉若干自然數，就斷定對任何自然數n都具備這種性質。事實上，到目前為止，還沒有誰能證明這一點。
在競賽中我們會遇到一些類似的變換，有時候是對一個數連續進行某種指定變換，有時候是對一組數連續進行某種指定變換。在紛亂多樣的變化中，卻隱藏著某種規律，而我們解決這些問題的關鍵，就在于透過表面現象，從“萬變”中揭示出“不變”的數量關系。
例1 對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可進行這樣的連續變換：
18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。
直到兩數相同為止。問：對12345和54321進行這樣的連續變換，最后得到的兩個相同的數是幾？為什么？
解 如果兩個數的最大公約數是a，那么這兩個數之差與這兩個數中的任何一個數的最大公約數也是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最后得到的兩個相同的數就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大約數是3，所以最后得到的兩個相同的數是3。
說明 這個變換的過程實際上就是求兩數最大公約數的輾轉相除法。
例2 在圖1中，對任意相鄰的上下或左右兩格中的數字同時加1或減1，這算作一次變換。經過若干次變換后，圖1變為圖2。問：圖2中A格中的數字是幾？
解 每次變換都是在相鄰的兩格，我們將相鄰的兩格染上不同的顏色（如圖3）。因為每次變換總是一個黑格與一個白格的數字同時加上或減1，所以所有黑格內的數字之和與所有白格內數字之和的差保持不變。因為圖1的這個差是13，所以圖2的這個差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。
例3 黑板上寫著三個整數，任意擦去其中一個，將它改寫成為其它兩數之和減1，這樣繼續下去，最后得到3，1997，1999，問原來的三個數能否是2，2，2？
解 答案是否定的。
注意到2，2，2按照題設中的方式首先變換為2，2，3，再變換下去必定其中兩個為偶數，一個為奇數（數值可以改變，但奇偶性不變）。但3，1997，1999是三個奇數，所以2，2，2永遠不會按照所述方式變為3，1997，1999。
想想練練
1.黑板上寫著1～15共15個數，每次任意擦去兩個數，再寫上這兩個數的和減1。例如，擦掉5和11，要寫上15。經過若干次后，黑板上就會剩下一個數，這個數是幾？
2.在黑板上任意寫一個自然數，然后用與這個自然數互質并且大于1的最小自然數替換這個數，稱為一次變換。問最多經過多少次變換，黑板上就會出現2？
3.口袋里裝有101張小紙片，上面分別寫著1～101。每次從袋中任意摸出5張小紙片，然后算出這5張小紙片上各數的和，再將這個和的后兩位數寫在一張新紙片上放入袋中。經過若干次這樣做后，袋中還剩下一張紙片，這張紙片上的數是幾？
4.在一個圓上標出一些數：第一次先把圓周二等分，在兩個分點分別標上2和4。第二次把兩段半弧分別二等分，在分點標上相鄰兩數的平均數3（圖4）。第三次把四段弧再分別二等分，在四個分點分別標上相鄰兩分點兩數的平均數。如此下去，當第8次標完后，圓周上所有標出的數的總和是多少？
