小學五年級奧數第四講——雞兔同籠問題

　　“雞兔同籠”問題小朋友們聽說過嗎？這是一類著名的數學問題。比如：“雞兔同籠，共有45個頭，146只腳。籠中各有多少只雞兔？”雞兔同籠問題的特點是：題目中有兩個或兩個以上的未知數，要求根據總數量，求出各未知數的單量。解題時，首先要根據題目中所給出的兩個未知數的關系，用一個未知數代替另一個未知數，從而將兩個未知數裝化為一個未知數，從而解出答案。

　　典型例題

　　例【1】雞兔同籠，共有45個頭，146只腳。籠中雞兔各有多少只？

　　分析題目中給出了雞、兔共45只。如果假設這45只全都是兔子，那么就應該有180只腳。而題目只告訴我們有146只腳，我們算的180只腳和實際相比多算了34只腳。為什么呢？因為一只雞是兩只腳，而我們把它當成4只腳算了。如果用一只雞來置換一只兔，就要減少2之腳，那么，34只腳里包含多少個2只腳，也就是我們把多少只雞當成了兔子，顯然34÷2＝17（只）。所以雞有17只，兔子有28只。當然，我們也可以把45只都假設成是雞，把以上問題反過來考慮。

　　解法一假設全是兔子。

　　（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——雞

　　45－17＝28（只）——兔

　　解法二假設全是雞。

　　（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔

　　45－28＝17（只）——雞

　　答：雞有17只，兔子有28只。

　　例【2】盒子里有大、小兩種鋼珠共30個，共重266克，已知大鋼珠每個11克，小鋼珠每個7克。盒中大鋼珠、小鋼珠各有多少個？

　　分析假設全部都是大鋼珠，則共重：11×30＝330（克）；

　　比原來的克數重：330－266＝64（克）；

　　小鋼珠的個數是：64÷（11－7）＝16（個）

　　大鋼珠的個數是：30－16＝14（個）

　　同樣，也可以假設全部都是小鋼珠。算法一樣。

　　解法一假設全是大鋼珠。

　　（30×11－266）÷（11－7）＝16（個）——小鋼珠

　　30－16＝14（個）——大鋼珠

　　解法二假設全是小鋼珠。

　　（266－30×7）÷（11－7）＝14（個）——大鋼珠

　　30－14＝16（個）——小鋼珠

　　例【3】一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？

　　分析先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應是2000分，比原來的總值多120分。而多的120分，是把10分一張的看作是20分的一張的，每張多算10分。因此可以先求出10分一張的郵票有多少張。

　　解10分一張的郵票的張數有：

　　（2000－1880）÷（20－10）＝12（張）

　　20分一張的郵票張數有：

　　100－12＝88（張）

　　答：10分一張的郵票有12張，20分一張的郵票有88張。

　　例【4】學校買來3個排球和2個足球，共花去111元。每個足球比每個排球貴3元。每個排球和每個足球各多少元？

　　分析根據“每個足球比每個排球貴3元”可知，當把買2個足球換成買2個排球時，買球共花的錢就會比原來少6元，現在買的是（3＋2）個排球，因此，可以求出每個排球的價錢。

　　解每個排球的價錢：

　　（111－3×2）÷（3＋2）＝21（元）

　　每個足球的價錢：

　　21＋3＝24（元）

　　答：每個排球的價錢是21元，每個足球的價錢是24元。

　　同樣，這道題也可以將3個排球換成3個足球來考慮。

　　例【5】買2支鋼筆的價錢等于買8支圓珠筆的價錢。如果買3支鋼筆和5支圓珠筆共花17元，問兩種筆每支各多少元？

　　分析根據“買2支鋼筆的價錢等于買8支圓珠筆的價錢”，可知“買1支鋼筆的價錢等于買4支圓珠筆的價錢”，買3支鋼筆的價錢可以買（4×3）支圓珠筆。這樣，我們就可以將買鋼筆的支數轉換為買圓珠筆的支數了。從而順利地求出每支圓珠筆的價錢。

　　解一支圓珠筆的價錢：

　　5＋（8÷2）×3＝17（支）

　　17÷17＝1（元）

　　一支鋼筆的價錢：

　　1×8÷2＝4（元）

　　答：一支鋼筆4元，一支圓珠筆1元。

　　小結解“雞兔同籠問題”的常用方法是“替換法”、“轉換法”、“置換法”等。通常把其中一個未知數暫時當作另一個未知數，然后根據已知條件進行假設性的運算，直到求出結果。

　　概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是：

　　雞數＝（每只兔腳數×雞兔總數－實際腳數）÷（每只兔子腳數－每只雞的腳數）

　　兔數＝雞兔總數－雞數