小明和小亮兩個(gè)人玩撲克牌，又發(fā)明一種新花樣，叫做“二倍二倍快躲開”。
從一副撲克牌里，每人各拿出12張：A、2、3、4、5、6、7、8、9、 10、J、Q各一張，小明全拿黑桃，小亮全拿紅桃。A算1點(diǎn)，J算 11點(diǎn)，Q算12點(diǎn)。這樣，每人就都擁有一套從1點(diǎn)到12點(diǎn)的
牌，拿紅牌的是紅方，拿黑牌的是黑方。
玩的時(shí)候，每人把自己的12張牌打亂順序，背朝上，排在自 己面前。兩個(gè)人輪流翻牌。如果自己翻出的牌里，任何兩張的點(diǎn) 數(shù)都沒(méi)有二倍關(guān)系，就是成功的，可以繼續(xù)翻牌，也可以停止翻 牌，做成一組成功的牌。誰(shuí)翻的牌里最先出現(xiàn)二倍關(guān)系，誰(shuí)就輸 掉了這一盤。
例如，在兩人都翻開4張后，戰(zhàn)局如圖1。
這時(shí)小亮的牌里，10是5的二倍，小亮輸了。
如果兩個(gè)人各自做成一組成功的牌，就比誰(shuí)的點(diǎn)數(shù)大，點(diǎn)數(shù) 大的人勝利。如果點(diǎn)數(shù)相等，就成為平局。
又如，有一次，兩人都翻開3張以后，得到圖2所示的戰(zhàn)局。
這時(shí)小明停止翻牌，做成了一組，點(diǎn)數(shù)是
9＋8＋10＝27。
小亮趕緊也算一算自己的點(diǎn)數(shù)：
8＋10＋7＝25。
如果小亮也停止翻牌，就比小明少2點(diǎn)，輸定了。若是再翻一張 牌呢，如果翻到4，那么在翻出的牌里，8是4的二倍，就輸了； 如果翻到5，那么10是5的二倍，也輸了。但是翻到其他牌都會(huì) 增加分?jǐn)?shù)，可能超過(guò)對(duì)手。
有成功的機(jī)會(huì)，就該試一試。于是小亮再翻一張牌，結(jié)果翻 到的是3，成功！點(diǎn)數(shù)增加為
25＋3＝28，
超過(guò)小明的27，贏了這一盤。
有一次兩個(gè)人越翻越起勁，都翻出了8張。局面是這樣的。
小明：2，3，5，7，8，9，11，12；
小亮：1，3，4，7，9，10，11，12。
這時(shí)兩個(gè)人的牌里都沒(méi)有二倍關(guān)系，都是成功的。算一算點(diǎn)數(shù)，得到
小明：2＋3＋5＋7＋8＋9＋11＋12＝57；
小亮：1＋3＋4＋7＋9＋10＋11＋12＝57。
兩人的分?jǐn)?shù)相等。小明停止翻牌，小亮也停止翻牌，握手言和。 為什么兩個(gè)人都小心翼翼，不再翻牌呢？難道不想取勝嗎？
原來(lái)，玩這種“二倍二倍快躲開”的游戲，有一個(gè)規(guī)律：最多只可能翻出8張成功的牌。如果冒險(xiǎn)翻第9張牌，就怎么也躲不開二倍關(guān)系，必輸無(wú)疑。這是在數(shù)學(xué)里已經(jīng)證明了的，因?yàn)檫@種撲克游戲來(lái)源于一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。這是小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克邀請(qǐng)賽的一道初賽試題，是填空題，原題如下：
從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多能選出____個(gè) 數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍。
答案是8個(gè)數(shù)。
從上面小明和小亮的牌局里，已經(jīng)看到能選出8個(gè)數(shù)的兩 組實(shí)例。為什么選9個(gè)就一定出現(xiàn)二倍關(guān)系呢？
首先考慮那些肯定不會(huì)有二倍關(guān)系的數(shù)。它們是：
7，9，11。
這3個(gè)數(shù)可以全部選出來(lái)。
其次，有兩個(gè)數(shù)組成一對(duì)二倍關(guān)系的小圈子，它們是：
(5，10)。
所以，在5和10這兩個(gè)數(shù)里，可以選出1個(gè)，也只能選出1 個(gè)。
再其次，有3個(gè)數(shù)組成兩對(duì)二倍關(guān)系，它們是：
(3，6)，(6，12)。
所以，在3個(gè)數(shù)3、6、12中，至多可以選出兩個(gè)數(shù)3和12。
最后，還剩下4個(gè)數(shù)，它們組成二倍關(guān)系的連環(huán)套：
(1，2)，(2，4)，(4，8)。
所以，在4個(gè)數(shù)1、2、4、8中，至多可以選出兩個(gè)數(shù)，或者是1和4，或者是2和8，或者是1和8。
總而言之，不含二倍關(guān)系，至多可選出的個(gè)數(shù)是
3＋1＋2＋2＝8(個(gè))。
這正是問(wèn)題所需要的答案。同時(shí)也確定了全部不含二倍關(guān)系的8數(shù)組，它們是：
①7，9，11；3，12；5；1，4。
②7，9，11；3，12；5；2，8。
③7，9，11；3，12；5；1，8。
④7，9，11；3，12；10；1，4。
⑤7，9，11；3，12；10；2，8。
⑥7，9，11；3，12；10；1，8。
其中第⑤組各數(shù)的和最大，和是62。可見在撲克游戲“二 倍二倍快躲開”里，勝利者能取得的最高點(diǎn)數(shù)是62。
