本單元教學(xué)用枚舉的方法解決實(shí)際問題。所謂枚舉就是一一列舉，即把事情發(fā)生的各種可能逐個(gè)羅列，并用某種形式進(jìn)行整理，從而得到問題的答案。生活中有許多實(shí)際問題，列式計(jì)算往往比較困難。如果聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，用枚舉的方法能比較容易地得到解決。因此，枚舉是解決問題的常用策略之一。而且在枚舉的時(shí)候要有序地思考，做到不重復(fù)、不遺漏，對(duì)發(fā)展思維也很有價(jià)值。對(duì)學(xué)生來說，“列舉”比“枚舉”通俗，易于接受，教材里采用“列舉”這種表述是從有利于學(xué)習(xí)出發(fā)的。另外，教材在編排上還有以下的特點(diǎn)。

　　第一，選擇有趣的素材教學(xué)解決問題的策略。如用柵欄圍羊圈、訂閱雜志、擲飛鏢、取錢、拼圖形、選擇路線……這些素材一方面能調(diào)動(dòng)解決問題的積極性，另一方面能激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)活動(dòng)能力，主動(dòng)開展列舉活動(dòng)，體會(huì)列舉是解決問題的有效方法，逐漸掌握這種策略。

　　第二，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，逐漸增加問題的難度，培養(yǎng)列舉的能力，發(fā)展列舉的技巧。這是充分考慮了策略的形成規(guī)律而作出的安排。首先三道例題是遞進(jìn)的，例１是比較簡(jiǎn)單的問題，涉及的知識(shí)比較少，只要根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的意義，在周長(zhǎng)保持不變的前提下，列舉出長(zhǎng)、寬的各種可能，而且長(zhǎng)、寬的米數(shù)都是整數(shù)。例２比例１復(fù)雜，不僅訂閱的雜志有１本、２本、３本三種可能，而且訂閱２本還有三種不同的選擇，要應(yīng)用四年級(jí)（下冊(cè)）教學(xué)的搭配規(guī)律。例３在旅館住宿開房間，對(duì)列舉的每種方案都要從“有沒有空位”進(jìn)行甄別，保留沒有空的情況。其次，練習(xí)也是遞進(jìn)的，即使兩次“練一練”與例題比較接近，也不是簡(jiǎn)單的重復(fù)。而練習(xí)十一里的題都具有新穎性，大多數(shù)是生活里的實(shí)際問題，個(gè)別是純數(shù)學(xué)的問題（如第６題）。只有在例題里學(xué)到了列舉的方法，體會(huì)了列舉策略才能獨(dú)立解決這些題。

　　第三，重實(shí)質(zhì)、不拘泥于形式。列舉作為一種策略，用來解決問題時(shí)的表現(xiàn)形式是多樣的。實(shí)際問題的特點(diǎn)和學(xué)生的個(gè)性差異，使列舉的表現(xiàn)形式是靈活的、可變的。在表格里列舉是形式之一，它的好處是有助于思考，能清楚地看到問題的各種答案。三道例題都采用表格列舉這種形式，目的是幫助學(xué)生有條理地列舉，不丟失信息。教材里的少數(shù)練習(xí)題已經(jīng)畫出了表格，這些題確實(shí)需要這樣做。其他練習(xí)題沒有畫出表格，學(xué)生可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行列舉，也可以不畫表格，用自己喜歡的形式開展列舉活動(dòng)。部分實(shí)際問題還可以用畫圖、連線等形式列舉。

　　１． 引發(fā)列舉活動(dòng)，初步體驗(yàn)列舉策略。

　　解決問題的策略表現(xiàn)在解題活動(dòng)中，是通過解題活動(dòng)逐漸形成的。例１作為本單元教學(xué)的起始，讓學(xué)生初步體會(huì)列舉是解決問題的一種有效方法。設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)線索包括“引發(fā)需要——填表列舉——反思方法——感悟策略”等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。

　　（１） 利用現(xiàn)實(shí)的問題情境引發(fā)列舉思路。

　　用１８根柵欄圍一個(gè)長(zhǎng)方形羊圈，由于每根柵欄的長(zhǎng)都是１米，所以圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬都是整米的數(shù)。配置的情境圖能幫助學(xué)生理解雖然柵欄的總數(shù)１８米（即長(zhǎng)方形周長(zhǎng)）是確定不變的，但圍成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬的數(shù)量是可變的，也就是圍法是多樣的。然后進(jìn)一步想到，長(zhǎng)方形的寬可以是１米、２米……每一個(gè)寬都有相應(yīng)的長(zhǎng)。于是產(chǎn)生通過擺小棒求長(zhǎng)的思路，這就是“小兔”的思考，其中的“如果……如果……”是初步的列舉。教學(xué)這個(gè)環(huán)節(jié)要抓住“有多少種不同圍法”，領(lǐng)會(huì)這個(gè)問題的含義，明白為什么會(huì)有不同的圍法。在交流中體會(huì)各種圍法可以按寬的米數(shù)從小到大有序地列舉出來。

　　（２） 填表列舉，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維。

　　學(xué)生在擺小棒列舉的活動(dòng)中，會(huì)感到這種方法比較麻煩，既費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還得把每種圍法及時(shí)記錄下來，才能知道一共有多少種不同的圍法。于是產(chǎn)生優(yōu)化列舉活動(dòng)的愿望，這些對(duì)操作的體驗(yàn)是繼續(xù)填表列舉的思想基礎(chǔ)。通過擺小棒，學(xué)生清楚地看到長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是周長(zhǎng)的一半。教材適時(shí)提出“先求出長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬的和，再列表填一填”的要求，學(xué)生能夠接受和理解。列出的算式１８÷２=９（米）能使填表順利地進(jìn)行。

　　已知了長(zhǎng)、寬的和之后，把長(zhǎng)從大到小列舉比較方便，也體現(xiàn)了列舉思路有時(shí)是多樣的。表格里已經(jīng)填出的一組數(shù)據(jù)隱含了填表時(shí)的思考——如果長(zhǎng)８米，寬就是９-８=１（米）。照樣子繼續(xù)填表就不會(huì)有困難了。把每種圍法的長(zhǎng)、寬都記錄在表格里，一共有多少種圍法就十分清楚，減輕了記憶的負(fù)擔(dān)，學(xué)生會(huì)喜歡填表列舉這種方法。

　　從擺小棒列舉到填表列舉，形象思維少了，推理加強(qiáng)了。尤其是假設(shè)了長(zhǎng)的米數(shù)以后，相應(yīng)的寬是通過計(jì)算得到的。這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)要處理好擺小棒到填表的過渡，激發(fā)并利用學(xué)生的優(yōu)化愿望，既使兩次列舉銜接起來，又體現(xiàn)后者比前者優(yōu)越。

　　（３） 回顧填表過程，反思相關(guān)活動(dòng)，體會(huì)列舉策略。

　　例１的教學(xué)不能滿足于獲得問題的答案，還要繼續(xù)提煉解決問題的策略。教材要求算出圍成的每個(gè)長(zhǎng)方形的面積，并比較它們的長(zhǎng)、寬和面積。這些活動(dòng)都要看著表格進(jìn)行，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉表格里的內(nèi)容，利用表格里的數(shù)據(jù)。“有什么發(fā)現(xiàn)”的話題是很寬的，給了學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的機(jī)會(huì)。如各種圍法的長(zhǎng)、寬不同，面積也不同。又如長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定時(shí)，它的長(zhǎng)、寬越接近，面積越大。

　　在小組里說說解決這個(gè)問題的策略，是引導(dǎo)學(xué)生回顧解決問題的過程，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想與方法。這里的回顧先是比較具體的，包括怎樣想、怎樣算的，采用了什么形式，列表有什么好處，表格是怎樣有序地填寫的……然后是比較概括的，理解所開展的活動(dòng)是列舉，是解決問題的有效方法。通過這樣的回顧初步體驗(yàn)策略，懂得“列舉”的含義，并在后面的解決問題時(shí)主動(dòng)應(yīng)用這種策略。

　　２． 應(yīng)用列舉策略，主動(dòng)開展列舉活動(dòng)。

　　例２繼續(xù)教學(xué)列舉策略，一要承前，用好例１的教學(xué)成果；二要發(fā)展，豐富列舉的技巧。教材選擇了比例１復(fù)雜的問題情境，設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)也與例１不完全相同。

　　（１） 理解題意，確定策略。

　　例２在圖畫里呈現(xiàn)了三本不同的雜志，在這些雜志中最少訂閱１本，最多訂閱３本，意味著也可以訂閱其中的２本。教材提出：你準(zhǔn)備用什么策略來解決“有多少種訂閱方法”的問題。回答這個(gè)問題既要基于例１中的列舉體驗(yàn)，又出于對(duì)例２的正確理解。在三本雜志中，可以訂閱１本，也可以訂閱２本，還可以訂閱３本，因而引發(fā)按訂閱的本數(shù)分類列舉的策略。先確定解決問題的策略，再開展解題活動(dòng)，是例２的教學(xué)特點(diǎn)，符合策略制約方法、方法體現(xiàn)策略的關(guān)系。

　　（２） 用不同的形式開展列舉活動(dòng)。

　　在確定了按訂閱１本、訂閱２本、訂閱３本三種情況進(jìn)行列舉的策略以后，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)開展具體的列舉活動(dòng)。第一種想法是有代表性的，很多學(xué)生都會(huì)這樣思考。其中“只訂１本有３種不同的方法”和“訂３本只有１種方法”比較容易得到，“如果訂２本，有３種不同的方法”要聯(lián)系四年級(jí)（下冊(cè)）的選配經(jīng)驗(yàn)才能得到。第二種方法與第一種是一致的，僅在表現(xiàn)形式上采用了畫表格。在表格里能清楚地看到只訂１本是哪３種不同的方法。尤其是如果訂２本，可以通過畫“√”找到３種不同的方法。一共有７種不同的方法也很直觀。

　　教材給教學(xué)的啟示是，要鼓勵(lì)學(xué)生選用適宜自己的形式，獨(dú)立開展列舉活動(dòng)。畫表格列舉是一種很好的形式，不是惟一的形式，不必勉強(qiáng)學(xué)生都照這樣去做。只有在需要的時(shí)候，才會(huì)體現(xiàn)畫表列舉的作用。有時(shí)只針對(duì)列舉時(shí)的難點(diǎn)，如訂閱２本的情況畫一張簡(jiǎn)單的表格，發(fā)現(xiàn)這種情況的幾種不同訂法，也是可以的。

　　（３） 在反思中積累列舉技巧。

　　例２在最后向?qū)W生提出一個(gè)問題： 要得到全部答案，列舉時(shí)要注意什么?交流例２列舉活動(dòng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)和感受，進(jìn)一步體驗(yàn)策略，發(fā)展列舉能力。

　　學(xué)生應(yīng)該有話可說。如列舉要有條理、按步驟進(jìn)行，先考慮只訂１本，再依次分別考慮訂閱２本、訂閱３本的情況。又如列舉時(shí)可以畫表格，也可以不畫表格。在有困難的時(shí)候，列表能幫助思考。再如訂閱２本的情況最復(fù)雜，要把３本雜志兩兩搭配……要鼓勵(lì)學(xué)生把想說的、能說的都說出來，還要引導(dǎo)他們整理、歸納交流的內(nèi)容，使成功的經(jīng)驗(yàn)、曲折的教訓(xùn)都成為有益的資源，充實(shí)到列舉策略里去。

　　３． 按不同的線索列舉，體驗(yàn)策略應(yīng)用的靈活性。

　　策略是解決問題的計(jì)策、謀略，在具體應(yīng)用時(shí)是靈活而多樣的。例３的編寫充分體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

　　２３人到旅館住宿，如果只住３人間或者只住２人間，都不能使所有房間都住滿，由于有空著的床位，都不是節(jié)省的方案。顯然，只有３人間和２人間合理地搭配安排，才能做到每個(gè)房間都不留空床位。用列舉的方法解決這個(gè)實(shí)際問題，一般有兩條思路，可以從住３人間想起，也可以從住２人間想起。教材要求分別按這兩條思路列舉。

　　從住３人間想起。如果只住１個(gè)３人間，還剩２０人，再住１０個(gè)２人間正好住滿，是一種安排。如果住２個(gè)３人間，還剩１７人，再住９個(gè)２人間有空床位，不符合“沒有空床位”的要求。教材里寫出上面的思考有兩個(gè)目的，一是把學(xué)生引上這樣有條理的思路，他們才能接著往下想。二是幫助學(xué)生看懂表格里３人間的間數(shù)依次填１、２、３……是按３人間間數(shù)從小到大地列舉；“１”個(gè)３人間下面的格子里填“１０”，表示還要１０個(gè)２人間能全部住下，且正好住滿；“２”個(gè)３人間下面的格子里畫橫線，表示這個(gè)方案不符合要求。還要注意的是，教材要求分組討論“接下去應(yīng)該怎樣想”，使“兔子”的思路得到延續(xù)，為獨(dú)立填表作充分的準(zhǔn)備。

　　從住２人間想起，先分組討論“可以怎樣列舉”，把住３人間的列舉遷移過來，然后在表格里進(jìn)行列舉。兩條思路列舉的結(jié)果都是一共有４種不同的安排，驗(yàn)證了答案。如果讓學(xué)生想想兩次列舉有什么相同、有什么不同，比比哪種列舉比較簡(jiǎn)便，就能體會(huì)策略的具體實(shí)施是多樣的、可選擇的。

　　４． 解決新穎而有趣的問題，突出策略的應(yīng)用。

　　練習(xí)十一里都是有趣的問題，能調(diào)動(dòng)解題的積極性。前五道題配合三道例題，第１、２題都要按固定的間隔時(shí)間列舉，第１題的間隔時(shí)間在題目里已經(jīng)明確，兩路車分別是１０分鐘和１５分鐘。第２題的間隔時(shí)間要從已發(fā)鈴聲的四個(gè)時(shí)間里發(fā)現(xiàn)。這兩題在列舉之后都還要進(jìn)行比較，通過列舉和比較找到問題的答案，突出了解決問題的主要策略，體現(xiàn)了解決問題的方法不是單一的，而是綜合的。第２～５題不規(guī)定必須畫表列舉，學(xué)生從自己的需要出發(fā)，可以選擇畫表的形式，也可以不用畫表的形式。但是，必須有條理地列舉，才能不重復(fù)、不遺漏地找到各種可能。

　　后四道題給學(xué)生靈活應(yīng)用列舉策略的空間。第５題把３６寫成兩個(gè)素?cái)?shù)之和，要抓住素?cái)?shù)思考，從小到大依次用２、３、５、７……列舉并作出判斷。第７題拼長(zhǎng)方形，從寬想起比從長(zhǎng)想起容易，可以按沿著寬擺１個(gè)、２個(gè)……去列舉。而且，提供的表格有多余的格子，要體會(huì)列舉到何時(shí)為止。第８題可以在圖畫上列舉。如先向東走２格，有１條路線；先向東走１格，有２條不同的路線；不先向東走，有３條路線。合起來一共有６條路線。第９題小明已經(jīng)賽了４盤，也就是和其他的人各賽了１盤，可以在小明和另外４人之間各連一條線。小華賽了３盤，其中１盤是和小明賽的，另兩盤比賽有３種可能：和小海、小力賽的，和小海、小強(qiáng)賽的，和小力、小強(qiáng)賽的。由于小強(qiáng)只賽了１盤，是和小明賽的，所以小華的另兩盤只能是和小海、小力賽的。在連出相應(yīng)的線以后，就能看到小海已經(jīng)賽了２盤，分別是和小明、小華賽的。