師：最近小強熱線里面,劉老漢遇到了一個難題。

　　（課件出示）我有兩根木料，現(xiàn)在要把它們鋸成同樣長的小木料（小木料要整分米長），不能剩余。每段小木料可以是幾分米長？最長是幾分米？

　　（學(xué)生獨立思考）

　　師：你有什么不明白的地方？

　　生：什么叫整分米長？

　　師：誰知道整分米長？

　　生：整分米長就是沒有多余的。

　　師：還有不明白的么？這個不能剩余是什么意思？

　　生：不能有浪費的吧。

　　師：你能不能靜靜想一想，用我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫助這個劉老漢解決這個問題。（表揚習(xí)慣好的學(xué)生）

　　師：獨立地靜靜地思考。

　　師：很多人都有智慧的結(jié)晶，我們小組內(nèi)輕輕地交流一下，你是怎樣想的？

　　（生小組討論，師巡視指導(dǎo)）

　　師：哪個組來向大家匯報一下？

　　生1：我代表我們組發(fā)言，我們組有三種答案：1、2、4。

　　師：就三種啊？我發(fā)現(xiàn)兩個同學(xué)沒認(rèn)真在聽，人家智慧的結(jié)晶要認(rèn)真聽！

　　生1：12能被1、2、3、4、6、12整除，16能被1、2、4、8、16整除……

　　師：這么長的一段話，你能聽明白嗎？

　　生：聽明白了。

　　師：聽明白了？那你們認(rèn)為3分米行不行？

　　生：不行。

　　師：為什么不行。

　　生：12分米的那根可以的。16分米的那根就有剩余了。

　　師：同意嗎？那5分米呢？

　　生：兩個都不行。

　　師：通過剛才的學(xué)習(xí)討論，你有什么發(fā)現(xiàn)？

　　生1：我發(fā)現(xiàn)就是（很難表達的樣子……）

　　師：很難表達是嗎？你手上東西拿得那么寶貝，是不是可以幫你說明問題。

　　生1：把16和12的因數(shù)分出來，再找出一樣的因數(shù)

　　師：聽清楚了么? 在你的草稿紙上找找看,根據(jù)他的意見.找好了馬上舉手。

　　(生獨立思考)

　　(展示一學(xué)生的作業(yè))

　　師：你是什么意思?

　　生：……公因數(shù)。

　　師：怎么寫？我覺得公有的公比較好。板書：公因數(shù)。你怎么想到的？

　　生：就是公有的數(shù)，公共的。

　　師：誰聽不明白了？

　　生：就是兩組里面相同的數(shù)就是公因數(shù)。

　　師：同意么？

　　生：同意。

　　師：葛老師有個意見，他這樣的寫法，你們覺得還少點什么？前面應(yīng)該加上什么？

　　生：加上16的因數(shù)：和12的因數(shù)：。

　　師：你們的意思就是說是16又是12的公因數(shù)

　　就可以了。而且16和12的公因數(shù)只有1、2、4三個。剛才我看到那個xx的材料里面用集合圈表示的方式。這種方式表示的話，你們會不會？

　　師：一起來吧。怎么寫，我們還是聽你說吧？

　　（生寫1、2、4，在中間的集合圈）

　　生：8、16。

　　師：還有么？1、2、4不寫了？

　　生：他已經(jīng)寫到中間去了。

　　師：那這邊呢？

　　生：12、6、3。

　　師：沒了？

　　生：沒了。

　　師：這樣寫有什么好處？

　　生：這樣可以看得很清楚。

　　師：同意么？

　　生：同意。

　　師：他使我們很直觀很清楚的看出來，哪些是16和12的公因數(shù)。誰是公因數(shù)，你們理解了沒有。

　　生：還有一個最大的公因數(shù)4。

　　師：今天這節(jié)課我們主要來學(xué)習(xí)公因數(shù)和最大公因數(shù)。現(xiàn)在我們來研究第二個問題。

　　（出示兩句話：1、2、4是16和12共有的因數(shù)，所以他們是16和12的公因數(shù)。

　　在這些公因數(shù)中4是最大的公因數(shù)，所以它是16和12的最大公因數(shù)。）

　　（生讀）

　　師：我聽陳老師說，我們語文里學(xué)過縮句。你能不能把這兩句也來縮成很簡單的一句話？

　　師：反過來說，有沒有什么意見？

　　生：沒有。

　　（師根據(jù)學(xué)生回答板述：1、2、4是16和12的公因數(shù)，4是16和12的最大公因數(shù)）

　　師：你現(xiàn)在對這個公因數(shù)和最大公因數(shù)理解了沒有？

　　生：理解了。

　　師：下面我們來練一練。不用草稿紙，看大屏幕。（出示12和15、20和5）請你快速判斷，下面這兩組數(shù)中有沒有公因數(shù)2？下面是第一小組的同學(xué)獨領(lǐng)風(fēng)騷。

　　生：沒有。

　　師：你來說說為什么？    同意么？

　　生：同意。

　　師：那有沒有公因數(shù)3呢？

　　生：第一組里面有的，12有3、4、12，15有3、5、15。

　　師：你怎么這么快看出來，它們都有公因數(shù)3的？

　　生：一個數(shù)各個數(shù)位的和能被3整除就是3的倍數(shù)。

　　師：那你們認(rèn)為第二組就沒有嘍？那第二組有哪些公因數(shù)？

　　生：有5。

　　師：我不喜歡說話不完整的同學(xué)，你能不能說完整。

　　生：20和5里面有公因數(shù)1和5。

　　師：你們的意見呢？

　　師：我們的數(shù)學(xué)思考就是要我們深入地想，全面地想，要說完整。  那么，這個20除了我們剛才講的1和5外，還有哪些因數(shù)？

　　師：我們班通過剛才幫劉老漢解決困難，學(xué)到了新知識。看來，這個助人為樂是利人也利已啊。

　　師：下面的時間我們主要來研究怎樣求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。（出示：18和27的最大公因數(shù)是（））。每一個人你靜靜地想一想，你有幾種不同的方法？

　　（生獨立思考，師巡視指導(dǎo)）

　　師：小組內(nèi)交流一下，你們組有幾種不同的方法。

　　（小組內(nèi)交流）

　　生1：

　　生2：我覺得他可以用剛才學(xué)過的集合圈來表示。

　　生3：我的這種方法有限制。

　　師：他給人啟發(fā)。   你也有啟發(fā)了，你來說。

　　生4：可以分解質(zhì)因數(shù)。

　　師：什么是分解質(zhì)因數(shù)。

　　（展示該生的作業(yè)）（生自己介紹）

　　師：××同學(xué)，這個方法你是怎么想出來的。

　　師：這種分解質(zhì)因數(shù)來求兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)在我們?nèi)私贪娴慕滩闹惺遣蛔饕�求的。在以前的老教材里是非常強調(diào)的。××同學(xué)一不小心就發(fā)現(xiàn)了科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理，真了不起。如果說對他的方法感興趣的話，你課后可以跟他一起去研究研究。這些方法都是可以來幫助我們來求出他們的最大公因數(shù)。你掌握了沒有？會不會求？

　　師：下面比一比，我們六個小組來比一比完成信封里的作業(yè)紙。第一題，預(yù)備開始。

　　（小組開展競賽）

　　師：做好馬上舉手。看清楚題目，不要一昧求快。

　　師：看來第一輪的比賽，第一組和第五組表現(xiàn)不錯。繼續(xù)第二題開始。

　　（生獨立完成第二題）

　　師：比一比誰做得又快，又對，又好。我們請第二組剛才表現(xiàn)得不是很好，派一個代表來說。

　　（生匯報交流）

　　師：請仔細(xì)觀察每個組的兩個自然數(shù)及他們的最大公因數(shù)。你發(fā)現(xiàn)了什么？

　　生：兩個自然數(shù)是倍數(shù)關(guān)系的話，小的那個就是最大公因數(shù)。

　　師：他說什么了？

　　師：舉例證明……。

　　生2：比如16和32。

　　生3：如果兩個數(shù)有一個是質(zhì)數(shù)的話，最大公因數(shù)就是1。

　　生4：不一定。如3和15。

　　生5：2和4。

　　師：還沒成熟。下面我還有個問題：為什么8和9的最大公因數(shù)是1呢？

　　生6：兩個數(shù)一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)。

　　師：一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)而且是相鄰最大公因數(shù)是1。（生自主討論）

　　師：舉例證明。

　　生7：有一個數(shù)是1的話，他的最大公因數(shù)就是1。

　　生8：最大的公因數(shù)一定在兩個數(shù)的相差之內(nèi)。

　　師：相差之內(nèi)是什么意思？

　　生8：相差之內(nèi)就是他們的差不可能大于其中的一個數(shù)。

　　師：有什么證據(jù)么？

　　生8：你隨便拿兩個數(shù)。

　　生9：我反對。21和4呢？

　　生8：最大公因數(shù)是1，21－4是17，1在17之內(nèi)的。

　　師：對的。我們把這個問題，有興趣的話可以拿到以后去研究。這個問題很值得我們探討。像這樣的兩個自然數(shù)他們的最大公因數(shù)是1，因數(shù)只有1。像這樣的兩個數(shù)，我們把他叫做互質(zhì)數(shù)。像這樣的互質(zhì)數(shù)，你們能不能舉個例子？

　　生：101、102。

　　師：你這個是相鄰的兩個自然數(shù)，可以找其他的么？

　　生：兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)就可以了。

　　師：舉個例子。不是兩個質(zhì)數(shù)的可以么，一個質(zhì)數(shù)，一個合數(shù)行不行？

　　生：2和9。

　　師：兩個合數(shù)行不行？像這樣的研究你會發(fā)現(xiàn)是很有意思的，對我們以后要學(xué)習(xí)的知識起到很大的幫助。

　　師：學(xué)到這里，你覺得這堂課有什么收獲。誰沒有發(fā)言的？

　　生：知道了什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。

　　師：那你說什么是公因數(shù)和最大公因數(shù)。

　　師：繼續(xù)往下做。（出示思考題：我們家的貯藏室長18dm，寬12 dm，如果要用邊長是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的磚都是整塊）。你認(rèn)為正方形地磚的邊長可以是（  ）分米？其中邊長最大的是（  ）分米？）。

　　（生匯報）

　　師：如果說我們剛才研究的是兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)，課后你們還可以去研究一下三個自然數(shù)的最大公因數(shù)。