被稱為古希臘三大數學家之一的歐幾里得，其最偉大的功績就是寫出了不朽的《幾何原本》。長久以來，數學家們之所以對這本書評價如此之高，就是因為這本書第一次把數學用公理的形式表現出來。

　　所謂公理或公設，指的是某門學科中不需要證明而必須加以承認的某些陳述或命題，即“不證自明”的命題。一門學科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命題就可以由這些公理或公設邏輯地推證出來。如果我們把一門學科比作一幢大樓，那么該學科的公理或公設就像大樓的地基，整幢大樓必須以它為基礎而建立起來。

　　《幾何原本》的影響十分深遠，它已經成了數學證明中的一個典范。它所建立起的公理的方法，今天幾乎已經滲透到數學的每一個領域。在這本書中，歐幾里得精心選擇了5個公里、5個公設，然后在此基礎上一步一步推導出幾何學中的其他命題。

　　然而，后來人們在研究《幾何原本》的過程中，歐幾里得的第五個公設引起了人們的注意，那條公設是：

　　如果同一平面內一直線同另外兩條直線相交，同一側的兩內角之和小于兩直角，則兩直線無限延長時，必在這一側相交。

　　這條公設與另外4條相比，顯得敘述復雜，而且根本沒有“自明”的特征。事實上，它是《幾何原本》中命題17的逆命題。它看起來更像一個定理而不像公設。歐幾里得本人似乎也在極力避免使用這條公設，直到命題29的證明中才使用到它。于是，數學家們開始猜測，這條公設是否真的必要？能不能從其他的九個公理和公設中把它推導出來？為此，數學家們忙碌了兩千多年！在這個過程中，人們找到了這條公設的許多等價命題。比如，在中學課本中我們所了解的“過直線外一已知點能作一條且只能作一條直線平行于已知直線”，“任何一個三角形內角之和為兩個直角”等等。但是，人們最沒能證明第五公設，人們給出的許多“證明”，都被發明其中隱含承認了它的某個等價命題。

　　盡管人們的嘗試失敗了——事實證明他們也必然要失敗，數學家們卻由此而建立了兩種全新的幾何學，即非歐幾何！

　　建立非歐幾何的榮譽，應該由高斯（Gauss,1777~1855）、鮑耶（Bolyai,1802~1860）和羅巴切夫斯基（Lobacevskil,1792~1856）三人共同分享。不過在介紹他們的工作之前，我們先來看在這方面曾作過努力和貢獻的幾位數學家。

　　首先要提到的是意大利耶穌會士和帕維亞大學的教授薩謝利（Saccheri,1667~1733）。他研究了一個四邊形ABCD（如圖1），∠A和∠B是直角，AD=BC。他證明了∠D=∠C，那么這兩個角的大小只有三種可能：鈍角、直角或銳角，薩謝利稱之為鈍角和銳角假定和銳角假定。他希望證明鈍角和銳角假定是錯誤的，那么余下的直角假定就是第五公設的等價形式！薩謝利隱含的假定的矛盾性，但對于銳角假定，邏輯事實使他左右為難，最后毫無說服力地硬塞進一個“矛盾”。如果他不是那樣迫不及待地塞進一個所謂“矛盾”，而是大膽地承認自己找不到矛盾，那么非歐幾何的發現無疑應該歸功于薩謝利。非歐幾何已經碰到了他的鼻尖上，但他讓它溜走了。

　　33年之后，法國數學家蘭伯特（Lambert,1728~1777）也作了類似的研究，并寫出了一本《平行線論》。他研究的則是有三個直角地四邊形，討論第四角的情況，同樣也有相應三種假定。他也默認了直線是無限長這一假設，而否定了鈍角假定，但他注意到了鈍角假定的一些結論適合球面圖形。在銳角假定的問題上，他比薩謝利走得更遠，當他在銳角假定下得不到矛盾時，他沒有輕易否定這個假設，而是猜測銳角假定推出的幾何也許能在虛半徑的球上被證實，這一點他猜對了！

　　蘭伯特是第一位懷疑第五公設可證性的人，但他最終還是沒有跳出前人的框框，而與非歐幾何失之交臂。

　　對此作出卓越貢獻的第三人是法國著名數學家勒讓德。他曾譯過《幾何原本》，著有《幾何原理》，并且多次給出了第五公設的“證明”。他考慮三角形的內角和分別大于、小于和等于兩個直角的三個假定，恰好對應于薩謝利的三個假設。他也在銳角假定下走了很遠，但他最終的證明也非常隱蔽地包含了一個第五公設的等價形式。

　　實際上，第五公設是不可證明的，它是獨立于其他假設的！以銳角假定為基礎而推出的幾何和以直角假定為基礎而推出的幾何一樣，是自身內部不矛盾的。由于兩千多年來傳統偏見的束縛，要認識到這一點，必須要有非同尋常的勇氣和想象力。

　　高斯是真正預見到非歐幾何的第一人。他大約在1816年左右就對非歐幾何有了比較明確的認識。但高斯十分小心謹慎，沒有發表關于此類的任何文章，生怕引起世俗的反對。我們知道他的思想僅僅是通過他與好友間的通信、對別人著作的幾份評論，以及他死后從稿紙中發現的幾段札記。盡管如此，他卻鼓勵別人進行這方面的研究，而且，把這種幾何稱為非歐幾何的就是他本人。

　　預見到非歐幾何的第二人是J．鮑耶，他是奧地利軍隊的一名匈牙利軍官。他父親F．鮑耶是高斯的大學同學和朋友。老鮑耶也曾經對第五公設感興趣，曾經花費了大量的時間研究過它。當他知道自己的兒子也對此著了迷時，曾告誡他不要在這上面耗費時間，因為它們可能“吞沒一千個牛頓這樣的天才”。但小鮑耶不聽勸告，堅持自己的研究，并說：“我要白手起家創造一個奇怪的新世界。”1823年，小鮑耶基本上形成了自己的思想，但當他通過父親寫信向高斯征求意見時，高斯卻在回信中說，他不能稱贊鮑耶的工作，因為這樣做將是稱贊他自己在初年以前就開始做的事情。小鮑耶對此十分氣惱，認為高斯想搶占他的成果。最后，小鮑耶把他的研究結果寫成一本小冊子，在1832年作為他父親一部半哲學性著作的附錄發表了。

　　雖然人們承認是高斯和鮑耶最先料想到了非歐幾何的存在，但實際上發表該課題第一篇論文的是俄國數學家羅巴切夫斯基。

　　羅巴切夫斯基出生在喀山，他一生中的大部分時間是在喀山大學度過的。他先是當學生，后來任數學教授，最后當上了校長，晚年任喀山教育區督學的助手。他于1816年前后開始研究第五公設，起初他也試圖證明它，后來他果斷地放棄了這種嘗試。他的關于非歐幾何的最早論文是于1829年在《喀山通報》上發表的，比鮑耶要早2～3年。他把第五公設改為“過直線外一點可以作兩條直線與已知直線平行”，而保持其他公理不變。在此基礎上，他構筑了一套完全不同的而自身內部并不矛盾的幾何，后來被人們稱作“羅巴切夫斯基幾何”。他的著作開始并不為人所注意而且得不到學術界的支持，但他仍堅持不懈，一心一意地完善自己的理論。

　　要改變傳統的觀念去接受一種全新的東西總是那樣困難，羅巴切夫斯基和鮑耶的著作在發表后若干年，整個數學界才對此給予更多的注意，幾十年后，這一發現的真正內涵才被理解！

　　后來，德國數學家黎曼（Riemann，1826～1866）又修改了第五公設，把球面上的大圓作為直線，那么直線就是無界（或者說無端點）的了，但長度卻是有限的。黎曼又修改了其他幾條公理以適合球面，又構造了一種球面上的幾何學，被稱為“黎曼幾何”。它也是非歐幾何的一種。人類生活在地球上，認識到地球是圓的也有很長的歷史，但直到黎曼才發展出一種適合于球面的幾何學，這也許是一種反常的現象。

　　非歐幾何的發現，是幾何學的一次解放，也是數學思想的一次解放。幾何學的公設，對數學來說，僅僅是一種假定，并非不證自明，也可說其物理上的真假根本用不著考慮。數學家們可以隨心所欲地選取公設，只要它們之間不相互矛盾。數學從一種絕對的真理變成了人類思想的自由創造，而不是受我們自己生活于其中的世界擺布的什么事物，正如康托所說：“數學的本質在于其自由！”