四色命題：任何一張平面地圖，僅需四種不同顏色即可將所有區(qū)域（國家）完全區(qū)分開來。

　　如果將一個區(qū)域看成是一個點，則兩個相鄰區(qū)域可以看成是兩點相連接。由此四色命題可以等價為：

　　等價命題1：

　　平面上有任意多點，這些點必須滿足條以下兩個條件：

　　條件1：點與點之間連接線互相不能交*

　　條件2：如果兩點相連接，則這兩點必須用不同的顏色以示區(qū)分。

　　證明僅需四種不同顏色即可完全區(qū)分所有點。

　　僅當平面上有5個點它們兩兩互相連接，需要我們用5種不同顏色來區(qū)分它們，由此可將命題1等價為

　　等價命題2：

　　平面上有任意多點，這些點必須滿足條以下兩個條件：

　　條件1：點與點之間連接線互相不能交*

　　條件2：如果兩點相連接，則這兩點必須用不同的顏色以示區(qū)分。

　　證明平面上不存在這樣的五個點：它們兩兩互相連接，因而需要五種顏色來區(qū)分它們。

　　對于等價命題2的證明如下：

　　平面上任何兩兩互相連接且連接線不相交的四點所構(gòu)成的幾何圖形同構(gòu)于如下圖1所示：

　　圖1

　　該幾何圖形存在著一個封閉點D，并構(gòu)成區(qū)域ABD，BCD和ADC。

　　現(xiàn)在考慮增加第五點E，存在兩種情況：

　　E點在區(qū)域ABD，BCD和ADC這外

　　由于D點是封閉點，E點不可能與D點相連接且不與AB，BC，AC之任一條相交。

　　E點在區(qū)域ABD，BCD和ADC的任一個之中。

　　由于E點區(qū)域之中，則不可能與區(qū)域之外的另一點相連接而不與組成區(qū)域的邊相交。

　　綜合以上所述，不存在同滿足條件的任意五點。因此不需要第五種顏色來區(qū)分。