第二回  甲骨泥版  共創(chuàng)數(shù)學(xué)紀(jì)元

　　        竹簡紙草  同著算術(shù)春秋

　　一塊古巴比倫泥版上刻滿了畢氏三數(shù)，可惜殘缺不全，留下千古之謎。中國的陳子膽子倒確實不小，居然測量起太陽的直徑，用的僅是根竹竿！埃及的神廟，夏至?xí)r陽光能直射神像，善男信女驚異不已。

　　且說這西方學(xué)界，一直認(rèn)為埃及的古代數(shù)學(xué)是希臘文明繁榮之前，水平最拔尖的，待到巴比倫的泥版問世，方知更技高一籌；更不需說他們對古華夏的數(shù)學(xué)成就一無所知了。這里先談一番巴比倫。

　　這巴比倫人居住在美索不達(dá)米亞。“美索不達(dá)亞”是古希臘語，意思是兩河之間的地方。這兩條河就是底格里斯河和幼發(fā)拉底河。

　　兩河流域最早的文明大約至少有六千多年了。這塊地方大致以今天的巴格達(dá)城為界，分為南北兩部。北部以古亞述城為中心，稱為西里西亞；南部以巴比倫城為中心，稱為巴比倫尼亞。各個民族居住在一些獨(dú)立的城邑中。

　　這南部主要有蘇美爾人、阿卡德人。美索不達(dá)米亞文明最初就是蘇美爾人創(chuàng)造出來的。

　　蘇美爾人幾乎和埃及人同時發(fā)明了文字。這就是大名鼎鼎的楔形文字了。

　　上個世紀(jì)開始，考古學(xué)家們在美索不達(dá)米亞進(jìn)行大規(guī)模的發(fā)掘。

　這里的房屋幾乎一直都是有土坯蓋起來的，有點(diǎn)像北方的干打壘。下一次大雨自然要沖毀一些，就在舊屋子上面又造新屋。這樣蓋了塌，塌了蓋，最后就形成了一個個土丘。把這些個土丘直直地挖下去，就會看到這個城市從古到今一層一層地分得很清楚，真好像一塊歷史的千層餅。

　考古學(xué)家們在這塊千層餅里細(xì)剔細(xì)篩，發(fā)現(xiàn)了五十萬塊寫有文字的粘土?xí)�板，僅僅在古代尼普爾這個地方就出土了五萬塊！

　　許多的國家，許多的博物館、文物館，那是聞風(fēng)而動，千方百計各種途徑，收藏這些珍貴的文物。有時，同一塊泥版會分成幾塊，藏在不同的博物館里。

　　這些泥版有大有小。大的呢，也就和教科書差不多，小的只有巴掌那么大吧。有時書板的一面有字，有時又是兩面都有字。想必做這樣一本書也不容易，要節(jié)約用紙。

　現(xiàn)在流傳問世的，大約有三四百塊和數(shù)學(xué)有關(guān)的泥版和一些碎片。泥版上沒有什么年代的記號，學(xué)者只能根據(jù)它們在千層餅中的位置來推斷啦。他們發(fā)現(xiàn)，大部分泥版是在3000年以前的若干世紀(jì)內(nèi)制作的，前后延續(xù)有2000年左右。還有一小部分是公元前600年到公元300年間制作的。這兩部分之間留下了很大的一段空檔，正是巴比倫歷史上的一個動亂時期。

　看來，巴比倫的數(shù)學(xué)創(chuàng)立得十分迅速。而在這短暫的迅速發(fā)展之后，接下來的卻是長時期的停滯不前。

　要想破譯這泥版的內(nèi)容，可就比斷定它們的年代更難啦。一直到 1935年，經(jīng)過諾伊格爾和吐婁——當(dāng)蘭的著名發(fā)現(xiàn)，人們才了解了不少數(shù)學(xué)書板上的內(nèi)容。

　　許多早期的書板，都是有關(guān)田地轉(zhuǎn)讓的計算。還有不少是一些契約文書，像帳單、收條啦、期票啦、賣貨的單據(jù)、商號和帳目等等。

巴比倫人的計算倒是挺有意思，是借助各種各樣的表來實現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)泥版中，大約有200塊是表，有乘法表，倒數(shù)表，平方表和立方表，甚至還有指數(shù)表。

　接下來，咱們拿一塊巴比倫泥版來試看破譯一下，和大伙一起暫時當(dāng)一次考古研究者。當(dāng)然，現(xiàn)在我們早已就知道一些謎底了，猜起來可就要比那些先驅(qū)者容易多了。

　　我們現(xiàn)在看到的就是一塊古代巴比倫泥版了（見下圖）。正確點(diǎn)說，是它的一個復(fù)制品。左面是正面，右面是反面，兩面都刻有字。

　　首先我們數(shù)一數(shù)行數(shù)，一共有24行。每一面呢，都有兩列，我們把它分別叫做第Ⅰ列（左邊的）和第Ⅱ列。
　　現(xiàn)在我們從第1列開始正式考察。

　　它的第一行是一個垂直的楔形，我們把它叫“直楔”。第二行就是兩個直楔了。第三行呢，是三個。其實這些記號咱們都碰過面，就是沒碰過面大家也能猜出來：不就是1、2、3嘛！

　順下來的幾行也很容易，就是從4到9，只要數(shù)一數(shù)直楔的個數(shù)就成了。不過大家看到它們有時是三個一組的，這么一來就更容易讀了。比如 8，寫成三層，兩層各有三個直楔，一層有兩個，一眼望過去，就知道是多少。這開頭的九行倒很順利，咱們破譯初步成功。

　再往下看，到9后面，我們發(fā)現(xiàn)了一個新記號：“■”，我們把它叫做“角楔”。

　　我們當(dāng)然首先想到這應(yīng)該是 10，不過還要謹(jǐn)慎一些，看看能不能往下順。如果在下面的幾行中把它看作10也正確，那么猜想就對了。

　接下去的幾行確實令人很高興，沒費(fèi)周折，我們可以認(rèn)出 11，12，13，……，18。再往下應(yīng)該是19，從規(guī)律和書寫的情況來看，肯定是19，只不過有一些涂改的痕跡，可能是這位巴比倫人寫得有點(diǎn)不耐煩了，筆劃太多。

　　再往下也沒什么難懂得的，是20，30，40和50。

　這么一來，我們就破譯出第Ⅰ列，這一列順序?qū)懗隽?到20，然后是30，40，50。直楔代表l，而一個角楔代表10。

　　現(xiàn)在咱們要擴(kuò)大戰(zhàn)果，把我們的發(fā)現(xiàn)用到第Ⅱ列上。

　　開頭的幾行當(dāng)然暢行無阻，是 9，18，27，36，45，54。咱們把它們和第Ⅰ列中同一行的數(shù)一聯(lián)系，竅門就看出來了，這不就是九的乘法表嘛！

　　再往下，第七行、第八行當(dāng)然應(yīng)該是63和72。但是第七行寫的是：

　　那右邊一塊堆的三個直楔自然是3，那么60又在哪呢？好像把最左邊的那個大一點(diǎn)的直楔認(rèn)作是60才妥當(dāng)。

　　這樣看來，同樣都是直楔，放的位置不同，表示的數(shù)也不一樣；這正是前面說過的位值記數(shù)法。不過咱們在這向左移一移，不是變成 10，而是 60了！這是不是“逢六十進(jìn)一”呢？

　　這泥版上的63，我們用現(xiàn)在的符號寫一下，就是1，3＝１×60＋3＝63。記住，我們這里用逗號把兩個數(shù)符分開，表示兩個數(shù)位。就像十進(jìn)制中的個位和十位一樣。只不過“個”位的單位當(dāng)然是１，這里的“十”位的單位可就是60了。

　　下面可就勢如破竹了，咱們可以把它們改寫成：l，12＝1×60＋12＝72；

　　1，21＝1×60＋21＝81；

　　1，30＝90；1，39＝99；

　　l，48＝90；1，57＝117。

　　所有這一切都說明咱們一開始就猜對了；這塊泥塊果然是九的乘法表。

　　咱們當(dāng)然把它改寫為2，6＝2×60＋6＝126，這 126，不就是 14 乘以 9的答案嘛！

　　以下的幾行當(dāng)然不難改寫成：

　　2，15＝2×60＋15＝135，

　　2，24＝144，

　　2，33＝153，

　　2，42＝162，

　　2，5l＝171。

　　值得注意的是，我們需要把逗號右邊的那些數(shù)，比如 15 啦，24 啦，33啦等等，看作是一位數(shù)！是巴比倫人用的六十用制中的個位數(shù)。盡管這里用十進(jìn)制表示出來是兩位，但在六十進(jìn)制中，是一位，是用一個完整的獨(dú)立的符號表示的。

　　所以，六十進(jìn)制中記數(shù)的符號一共要有從0到59這六十個符號。而十進(jìn)制位值記數(shù)法，則是用從0到9這十個符號。

　　不難理解，b進(jìn)制記數(shù)法就應(yīng)該用從0到b—1這b個記數(shù)符號。比如現(xiàn)在電腦中常用的二進(jìn)制，只用0，l這兩個符號。十六進(jìn)制也是電腦中常用的記數(shù)法。只用 0 到 9 這十個符號就不夠了，所以又添了 A、B、C、D、E、F這六個符號表示10到15這六個數(shù)。因為這六個數(shù)還不夠資格向前進(jìn)位，只能在低一位上用一個符號表示出來。

　　比如15，十六進(jìn)制中就寫成F。而 2B這個十六進(jìn)制數(shù)，就等于2×16＋ll＝43。

　　不過看起來好像巴比倫人只有從1到59這五十九個符號，少了個0。我們仔細(xì)看一下2，51后面的那個數(shù)就可以知道，它是三個直楔，后面空了格。

　　想必那空的一格表示0，這樣這個數(shù)就是3，0＝3×60＋0＝180。下面的幾行也很容易破譯。咱們就請朋友們自便吧。

　　像上面一樣，1，25，30 這個巴比倫數(shù)就是個三位數(shù)，其中的 25 和 30都看作是一位。它應(yīng)該是

　　不過因為巴比倫早期用空格表示零，這空到底是空一格還是空兩格，還是不空格，就比較模糊。所以，l，25，30也可以看作是1，25，30，0或者是1，25，30，0，0。

　　你瞧，把這個數(shù)向左移動一位，就擴(kuò)大了60倍。這也與十進(jìn)位差不多。

　　十進(jìn)位中，一個數(shù)向左移動一位，就擴(kuò)大了10倍。60 和 10 分別是六十進(jìn)制和十進(jìn)制中的“基”。所以，把一個二進(jìn)制數(shù)

　　向左移動一位，就擴(kuò)大2倍；把一個十六進(jìn)制數(shù)向左移動一位，就擴(kuò)大了16倍。

　　因為用空格表示零比較模糊，所以把一個數(shù) 1，25，30 看作是 l，25，30，0還是1，25，30，0，0就要根據(jù)上下文來確定。

　　在后期的泥版中，巴比倫人也偶爾用一個記號表示零，這樣就比較方便了。

　　這六十進(jìn)位與十進(jìn)位的明顯差別首先自然是基底不一樣，一個是60，一個是10。

　　當(dāng)然，每種基底都有自己的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。以 60為基底的只有很少幾位就能寫出很大的數(shù)，這在上面大家已經(jīng)看得很清楚；而以二為基底的二進(jìn)制數(shù)，我們以前的已經(jīng)說過，同一個數(shù)用二進(jìn)制比用十進(jìn)制，位數(shù)要多得多。

　　不過這基底較大，缺點(diǎn)也很明顯。比如說二進(jìn)制，只有兩個數(shù)碼就成；六十進(jìn)制呢，得用六十個不同的符號，可真夠難記的。

　　這且不說，尤其難的是它的乘法口訣。十進(jìn)制中叫“九九表”，因為它有九九八十一句口訣。為什么要九九八十一句呢？因為十進(jìn)制中一位數(shù)只有從1到9九種情況（不連零）。

　　問題到了六十進(jìn)制那地方，可就麻煩大了。六十進(jìn)制中一位數(shù)有59種情況！所以它的乘法口訣共有59×59句！近3600句！太難記了。

　　人們想到可憐的巴比倫學(xué)童們背這么一張 59×59 的大表可能會不寒而栗。看書的同學(xué)大概也很慶幸自己沒有出生在偉大的巴比倫時代，盡管那兒有舉世聞名的空中花園。

　　有過好在那時已經(jīng)有了各種類型的大量數(shù)表，不必要再去死記硬背了。利用數(shù)表來進(jìn)行計算正是巴比倫的特點(diǎn)，巴比倫的創(chuàng)造。

　　在巴比倫的泥版中有許多“倒數(shù)表”。這所謂倒數(shù)表，也就是一些分子為1的分?jǐn)?shù)。不過在他們那兒是用六十進(jìn)制表示的。

　　這樣一來，巴比倫就能做整數(shù)除以整數(shù)的除法了。比方說一個整數(shù)要除以8，那就把它乘以1/8，查一查倒數(shù)表，看看1/8能化成什么樣的六十進(jìn)分?jǐn)?shù)。

　　這十進(jìn)分?jǐn)?shù)在我們的十進(jìn)制記數(shù)法中，實際上就是十進(jìn)的有限小數(shù)。所以，六十進(jìn)分?jǐn)?shù)在六十進(jìn)位制中也就是有限小數(shù)。這樣，化除法為乘法一個小數(shù)，當(dāng)然簡單了。

　　巴比倫的數(shù)表真真是數(shù)不盡，道不完。他們還有表示平方、平方根、立方和立方根的數(shù)表。

　　遇到無理數(shù)，當(dāng)然不能用有限的六十進(jìn)制表示啦，不過在那會兒倒算得挺準(zhǔn)：1．414213……當(dāng)然，他們哪能知道 是無限不循環(huán)小數(shù)呢？那時各個地方的人似乎都認(rèn)為世界上只有有限位的小數(shù)。

　　當(dāng)然，這在巴比倫人那里還是用六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示的：

　　卻說這巴比倫的數(shù)學(xué)泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提問式的內(nèi)容了。這些問題的一個個解決，往往反映了他們的代數(shù)方面的水平。

　　早期巴比倫的代數(shù)相當(dāng)發(fā)達(dá)。這方面的一個著名問題，就是求出一個數(shù)，讓它和它的倒數(shù)的和等于已知數(shù)。

　　用現(xiàn)代的記號來說，就是要求出這樣一個x，使得

　　由于巴比倫人不知道負(fù)數(shù)，所以負(fù)根是略去不提的。

　　這樣看起來，巴比倫人實際上知道二次方程根的公式。當(dāng)然，我們這里看到的二次方程是特殊了點(diǎn)，常數(shù)項只是1。

　　不過，有好些問題是打算說明二次方的一般解法的。對于更為復(fù)雜的代數(shù)問題，甚至用到了等量代換，把復(fù)雜的化成簡單的！

　　巴比倫人很喜歡用文字代表未知量，把代數(shù)方程用語言敘述并且還用語言求解出來。他們常常用長、寬、面積這些了來代表未知量，好像我們求解方程時，把未知量設(shè)為X、Y等。

　　比如說，在一塊泥版中有這么個問題：

　　“長乘以寬得到面積10；現(xiàn)在我把長自乘，得到的也是面積。再把長與寬的差平方，然后乘以9，得到的還是面積10。問長和寬是多少？”

　　這個問題翻譯成現(xiàn)在的寫法就是

　　這樣的方程組咱們初中生解決起來不費(fèi)事，不過，你要想想這可是三千多年前的事（公元前1600年），可真夠偉大的！

　　這古代的巴比倫人不但在記數(shù)、算術(shù)和代數(shù)方面技高一籌，幾何方面的知識也不賴。從公元前2000年到1600年的一些泥版中，可以知道他們已熟悉了長方形面積、直角三角形面積的計算。還有一些簡單立方體的體積也已經(jīng)能算出來。

　　對于圓，全世界的文明都對它有濃厚的興趣。這里關(guān)鍵的一點(diǎn)，就是對圓周率的認(rèn)識。

　　不過，巴比倫在幾何方面的造詣可遠(yuǎn)不止這么些。

　　1945年，有兩位學(xué)者對放在哥倫比大學(xué)的一塊數(shù)學(xué)泥版解讀一番，發(fā)現(xiàn)了更令人吃驚的事情。這塊泥版的編號叫變普林版322號。

　　這塊泥版上一共列舉了15行數(shù)，經(jīng)過認(rèn)真地研究這才發(fā)現(xiàn)：原來每一行都是畢氏三數(shù)！什么叫畢氏三數(shù)呢？也就是能構(gòu)成直角三角形邊的三個整數(shù)。比如像3、4、5，就是商高說過的“勾三股四弦五”。還有5、12、13等等。

　　但是這普林頓322號版上給出的15組畢氏三數(shù)可是了不得！很大，現(xiàn)在咱們寫出幾組：

　　（120，119，169）（3456，3367，4825）

　　（4800，4601，6649）（6480，4961，8161）

　　其中有一組更大：（13500，12709，18541）

　　這么大的數(shù)決不可能是用一次次試算求得的。人們猜測這些古人是不是掌握了計算畢氏三數(shù)的一組公式：

　　這里，x與 y 互素，有偶性也不同，并且 x＞y。這樣，a、b、C 就構(gòu)成畢氏三數(shù)了。

　　這組公式可是在普林頓泥版的一千多年后，才作為一項偉大的成就出現(xiàn)的呢！

　　人們還猜測，這些古巴比倫人是不是當(dāng)時就得知了“畢達(dá)哥拉斯定理”（也就是勾股定理）。要真是這么回事，那可就是把畢代定理提前1500年發(fā)現(xiàn)了！

　　不幸的是，這普林頓322號是個殘品，這塊書板的右邊中間有一個很深的缺口，左邊掉下的一塊也下落不明。這左邊破的地方還有現(xiàn)代膠水粘過的痕跡。大概是這塊書板不知怎么破了，人們嘗試著用膠水把它們粘在一起，但最后還是脫了膠。更糟糕的是這掉下的一半都不知弄那去了。也許是想要這塊泥版的人太多，你爭我搶弄壞的吧？也許是原來不當(dāng)它回事，東扔西丟搞掉了吧？說不定也有可能還蘊(yùn)含著一個驚險曲折的傳奇故事。反正在大洋彼岸的我們，也只能這么瞎猜猜了。

　　巴比倫人的天文學(xué)知識很豐富，三千年前就有了系統(tǒng)的觀測資料。他們的天文學(xué)家甚至能把新月和虧蝕出現(xiàn)的時間準(zhǔn)確地算到幾分鐘之內(nèi)。

　　巴比倫古代有的是陰歷。這陰歷的一月是按月亮的運(yùn)行周期定的，所以有的月份是29天，有的月是30天，全是根據(jù)新月出現(xiàn)的情況來定。這樣，哪一個月定29天，哪一個月定30天，計算起來就復(fù)雜啦！

　　再者，陰歷的月和一年的時間長短也不能很好配合。12個月就是都照30天算，也還只有360天，何況這其中還有不少是29天的，這就和一年的天數(shù)差得多了。所以要根據(jù)情況，必要時在一年中插進(jìn)一個月，變成13個月。這就是陰歷的閏月。如果19年里插進(jìn)7個月，也就是19年7閏，那么月和年就能配合起來了。

　　這和我們中國用的農(nóng)歷是完全一樣的。正所謂“英雄所見略同”吧。

　　使我們感興趣的還有他們建造過的許多巨大的天文臺。這種建筑通常是由7個梯臺組成的，一個造在另一個的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天空。每一個梯臺上都涂有一種顏色，代表七個星球——太陽，月亮，金、木、水、火、土星。也許，這就是傳說中巴比倫造的通天塔吧。

　　用這種建筑形式建造的宮殿，它的宏偉、樸素、勻稱和美觀是令人驚訝的。誰敢說，建造這些宏大的建筑不需要幾何知識呢？

　　說了巴比倫，下面要把尼羅河畔的事由道一個明白。

　　這古埃及人得天獨(dú)厚，在尼羅河畔沐浴著陽光幸福地成長。當(dāng)美索不達(dá)米亞的統(tǒng)治權(quán)在各個民族間你爭我奪，迭經(jīng)更替的時候，埃及的文明卻在尼羅河的搖籃里獨(dú)自發(fā)展著。

　　埃及的文明源自何處今天已難以考證，不過可以肯定的是，在公元前5000年之前，就存在著。

　　在今天埃及這塊土地上，一開始有許多的州。每個州都有自己的名稱、都城，軍隊、政權(quán)、方言和圖騰，儼然是一個個獨(dú)立的小王國。

　　經(jīng)過長期的戰(zhàn)爭和兼并，到公元前4000年代的中期，形成了兩個較大的王國。兩國以孟斐斯為界，以南的尼羅河谷地為上埃及，以北的尼羅河下游三角洲平原為下埃及。

　　公元前2100年左右，上埃及國王美尼斯征服了下埃及，實現(xiàn)了全埃及的統(tǒng)一。美尼斯把都城遷到上下埃及接壤的孟斐斯，并把它稱為“白城”。以后埃及歷史的主要時期就以統(tǒng)治的朝代來命名，而以美尼斯為第一王朝的創(chuàng)建人。

　　埃及文化在第三王朝（公元前2500年左右）到達(dá)頂峰，當(dāng)時的統(tǒng)治者建造了至今聞名的金字塔。一直到公元前332年，亞歷山大征服它以前，埃及文明都按著自己的道路延續(xù)著。從此以后，埃及的歷史和數(shù)學(xué)就融入到希臘文明中去了。

　　古代埃及文明的歷史延續(xù)了3000多年，是世界文明發(fā)祥地中的一個。古代的埃及好像“書”沒有“同文”，他們有幾套自己的文字，最早的是象形文字，這些都和咱們中國一開始的情況差不多。公元前2500年左右，開始用一種所謂“僧侶文”來作日常的書寫。

　　他們又是怎么書寫的呢？大家或許都知道就是用墨水寫在紙草片上。紙草是尼羅河下游的一種植物，又叫紙莎草，形狀像蘆葦。古代埃及人把這種草從縱面剖開，壓平后用來寫字。同時，一般是把許多條紙草片粘在一起，連成長幅，卷在一個桿子上，形成卷軸（倒很人些象我們的卷軸書畫呢！），所以這些紙草文書又叫紙草卷。

　　古埃及的氣候干燥，所以紙草卷不會霉?fàn)�，這樣就能保存下來，留給后世；但正因為也太干了點(diǎn)，所以紙草片又容易干裂成碎末，這樣保存下來的又不多。正所謂“成也蕭何，敗也蕭何”，老天爺弄得也挺為難的。

　　留給后世的紙草文書那可是大不一樣了，恒溫恒濕，高精控制，比總統(tǒng)住的還高級。這里面有數(shù)學(xué)內(nèi)容的主要是兩批。

　　一批是在 1893 年由俄羅斯收藏家哥列尼舍夫所收購，1912 年轉(zhuǎn)為莫斯科美術(shù)博物館所有，所以叫莫斯科紙草卷。

　　一批是1858年由英國發(fā)現(xiàn)的，現(xiàn)存英國博物館。因為它的作者阿摩斯，是公元前1700年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯紙草文書。

　　據(jù)這位僧人記載，這份紙草文書的內(nèi)容是從公元前2200年第十二王朝時代的紙草文書上轉(zhuǎn)錄下來的。他在這份紙草文書的開頭寫下了這么句話：“獲知一切奧秘的指南。”

　　數(shù)學(xué)紙草卷都是在古埃及政府和廟宇里工人的紀(jì)錄員們記下的作品。在萊因德紙草文書里有 85 道數(shù)學(xué)問題和解答，莫斯科紙草文書里有 25道。雖然這些數(shù)學(xué)問題“解答大全”是在公元前1700年左右編寫的，但所含的數(shù)學(xué)知識是埃及人早在公元前3500年就已經(jīng)知道的，而從那時起直到希臘人征服他們以前，他們也還是沒增加什么新內(nèi)容。

　　埃及的數(shù)學(xué)就這么平靜地流淌了三四千年，好像尼羅河停止不動了。不過，當(dāng)時的生產(chǎn)水平也就那么高，當(dāng)時的需要也就那么多。紙草卷上的那點(diǎn)數(shù)學(xué)也就足矣！看來不但時勢造英雄，時勢也成就科學(xué)。

　　從紙草卷上來看，古埃及還學(xué)會用數(shù)學(xué)來管理國家和宗教事務(wù)，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，征收按田畝估出的地稅，計算修房蓋屋和建防御工程所需要的磚塊，再算算釀酒要多少谷物，等等，數(shù)學(xué)一開始就是從實際需要發(fā)展起來的，這恐怕是全球都適用的公理。

　　古埃及人創(chuàng)造了一套從一到一百萬的有趣的像形數(shù)字記號。咱們前面已見識過：1是垂直的一根木棒，10是一副腳鐐（有人把這解釋為放牛時用的彎曲工具），100 是一卷卷起來的測量繩（可能當(dāng)時每卷測繩都是 100 個長度單位），1000是朵蓮花。

　　一萬呢，是個手指頭，十萬就畫成小蝌蚪。最有趣的是一百萬，畫了一個舉起雙手表示吃驚的人（這么大的數(shù)確實也令我們吃驚，古埃及好像是最早寫出這么大數(shù)的人）。

　　這套數(shù)字符號是以10為底的，但不是進(jìn)位制的。書寫的方式呢，也是從右向左。咱們在上一回已經(jīng)看到了，故且放下不提。

　　埃及的算術(shù)具有加法的特征，不但加法是加，而且乘法也是用疊加的方法做出來的。

　　現(xiàn)在我們當(dāng)一回古埃及人，做一下26與33的積，看看究竟是如何疊加的。

　　因為 26＝16＋8＋2，所以我們只要把 33 的這些倍數(shù)（2 倍、8 倍、16倍）加起來就行了。而2、8、16等等，都是2的乘冪，所以只要對33逐次加倍就可能得到所求的倍數(shù)。

　　具體做法如下：

　　把那些帶有星號（“*”）的33的倍數(shù)加起來，就得到答案858。

　　做除法呢，就是連續(xù)減去加倍。

　　比如對753 除以 26，可以連續(xù)地把除數(shù) 26 加倍，一直到再加倍就超過被除數(shù)753為止。其程序如下：

　　126252410482081641628

　　右邊的一列分別表示26的 1倍、2倍、4 倍、8倍、16倍，26 的32 倍已經(jīng)超過被除數(shù)753，所以就沒有列出。

　　因為

　　753＝416＋337

　　＝416＋208＋129

　　＝416＋208＋104＋25

　　這樣我們又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25減式中一共有16＋8＋4＝28個26，所以商就是28，余數(shù)為25。

　　有人會想了，如果一個除法中，商不是28，能不能由左邊的那列數(shù)：1、2、4、8……，也就是2的各次乘冪，相加得到呢？

　　回答是肯定的。因為任何一個整數(shù)，都可以表示成2的各次冪的和。為什么呢？這是因為任何一個整數(shù)都可以用“除二取余”的方法化成二進(jìn)制數(shù)。

　　一進(jìn)制數(shù)不就是2的乘冪的和嗎？

　　埃及的乘法和除法在計算過程中不僅不需要乘法表，而且便于用算盤。古埃及的乘法程序不斷發(fā)展，到后來就把上面講過的疊加法改變?yōu)?ldquo;雙倍和折半法”。

　　假如我們還是以33乘以26，那么就可以連續(xù)地減半26，并對33連續(xù)加倍：

　　然后把倍列中的那些與半列中奇數(shù)相對應(yīng)的33倍數(shù)加起來，即 66＋264＋528，便得到乘積858。

　　這其中的道理其實只要把26化為二進(jìn)制數(shù)，就能理解。

　　今天電腦中的乘法就是用這種方法進(jìn)行的，因為電腦中數(shù)的表示都是二進(jìn)制。相信朋友們自己能夠解決這個問題，我們就不多談了。

　　埃及人的分?jǐn)?shù)記法也比較獨(dú)特，還比較復(fù)雜。比如在像形文字中：

　　大家可以看到這卯形（■）的下面是個整數(shù)，所以卯形■加在整數(shù)上就表示是一個幾分之一的分?jǐn)?shù)，也就是單位分?jǐn)?shù)。

　　其他的分?jǐn)?shù)就用單位分為九的和來表示

　　在萊因德紙草文書中有個數(shù)表，把分子為2而分母為5到101的奇數(shù)的這樣一些分?jǐn)?shù)，表達(dá)成單位分?jǐn)?shù)的和：

　　利用這張數(shù)表，就能把其他一些分?jǐn)?shù)寫成分子為1的單位分?jǐn)?shù)之和，埃及人利用單位分?jǐn)?shù)來進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。

　　這分?jǐn)?shù)運(yùn)算這么一來很繁瑣，恐怕這也是尼羅泥畔的算術(shù)和代數(shù)沒有達(dá)到更高水平的原因吧。

　　在萊因德紙草文書的85個問題中，許多都是用來計算面包的分法，啤酒的深度，牛和家禽的飼料混和比例，還有谷物貯藏等的。

　　對于其中出現(xiàn)的未知量，他們用純粹算術(shù)的方法，沒有解方程這種想法。

　　有些是用后來在歐洲稱為“試位法”的方法來解決的。

　　當(dāng)然，埃及人當(dāng)時并沒有用未知量、方程，而是用文字去敘述解的過程的。所以這基本上只能是算術(shù)。

　　在萊因德紙草卷中，有一個問題（第79號問題）很有趣，對它的解釋也五花八門。在這個問題中，出現(xiàn)了一組奇妙的數(shù)據(jù)。我們把這個問題寫在下面：

　　一個人的全部財產(chǎn)

　　房子  7

　　貓    49

　　老鼠  343

　　麥穗  2410

　　谷物  16807  19607

　　眼睛尖的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)是7的前5次冪，最后是它們的和。這樣，人們一開始就認(rèn)為這不過是一張形象一點(diǎn)的7的乘方表。

　　然而有位歷史學(xué)家康托爾（不是那位數(shù)學(xué)家）在 1907年對此給了一個更精彩也更合理的說法。

　　他首先聯(lián)想到中世紀(jì)一位意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤書》中談到的一個問題：“有七個老婦人走在去羅馬的路上，每人有七匹騾子；每匹騾子馱七條口袋；每只口袋裝七個大面包；每個面包帶七把小刀；每把小刀有七層刀鞘。在去羅馬的路上，婦人、騾子、口袋、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”

　　這個問題后來在英國還演變成了一首童謠：

　　我赴圣地愛弗西，

　　途遇婦女?dāng)?shù)有七，

　　一人七袋手中提一袋七貓數(shù)整齊，

　　一貓七子緊相依，

　　婦女、布袋、貓與子，

　　多少同時赴圣地？

　　這么簡單的一聯(lián)想，思維的火花頓時迸出光芒，康托爾很自然地把萊因德79號問題解釋成：“一份財產(chǎn)包括七間房子；每間房子有七只貓；每只貓吃七只老鼠；每只老鼠吃七個麥穗；每個麥穗產(chǎn)七克谷物。在這份財產(chǎn)中，房子、貓、老鼠、麥穗和谷物，總共有多少？”

　　當(dāng)今天的孩子在唱英國人的那首有趣的繞口令時，不知是否知道，這也許還是三千七百年前埃及人留傳下來的呢！

　　埃及人的幾何又是怎樣呢？尼羅河畔自然不能缺少幾何；而談到幾何，自然又想到巍巍屹立的金字塔。

　　公元前2900年建造的胡夫金字塔最大，它原高為146．5米（現(xiàn)在還剩下137米），用 2000000塊石頭組成，每塊平均重2．5噸，非常仔細(xì)地砌在一起。正方形的底面每邊長233米（現(xiàn)在227米）。

　　此外金字塔的四個面正對著東南西北，與正北的偏差也只有3′左右。這么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有嘆服也！不過有人認(rèn)為，莫斯科紙草文書的第14個問題，更是一座最偉大的金字塔。

　　在這個問題中，要你求一個截去了頂?shù)慕鹱炙�，也就是現(xiàn)在常說的棱臺的體積。當(dāng)然，它接著就告訴你上、下兩個正方形的邊長，這個截頂金字塔的高。然后就教你怎么算了。

　　從這些埃及人的偉大教導(dǎo)中，我們竟得出了一個連現(xiàn)代人都感到困難的四梭臺計算公式：

　　這里當(dāng)然是用了現(xiàn)代的記法，h代表高，a、b分別是上、下正方形的邊長。

　　這也許是埃及幾何里最了不起的一項成就了，因為它完全正確。

　　不過在計算比較簡單的四邊形的面積時，卻有一個明顯的，令人迷惑不解的錯誤。

　　在一個廟宇的墻上就刻有一張捐獻(xiàn)田地的表，這些田地一般都有四邊，我們用a、b、c、d表示它們的長。并且，a、b兩邊相對，C、d兩邊相望。

　　不過，這一次埃及人給我的教導(dǎo)令人失望，墻上刻出的這些田地的面積是：

　　這個公式用來計算長方形時是完全正確的，但用來計算一般的四邊形面積就不對了。如果這個四邊形的四角與直角相差太大，那誤差就非常明顯了。

　　有一個流傳很廣的說法；古埃及的拉繩人（測量員），在繩子上打結(jié)，把全長分成3比4比5的三段，然后用來構(gòu)成直角，或者構(gòu)成直角三角形。

　　這個美好傳說在紙草文卷和廟宇壁刻上都找不到痕跡。

　　但是找不到并不能說他們對勾股定理沒有認(rèn)識。應(yīng)當(dāng)相信，許多普遍性的東西在各個文明發(fā)源地都會有發(fā)現(xiàn)，有表現(xiàn)的。

　　所以有人建議，如果地球人發(fā)射宇宙飛船去尋找外星人的話，不妨用勾股定理去作勾通的名片，交流的話題。當(dāng)然，這送去當(dāng)禮物的勾股定理有什么文字書寫，用什么話去說都沒什么用，外星人誰懂得你地球上的一套信息符號呢？所以有人就又建議把這勾股定理畫成一幅一看就懂得的幾何圖，行不行就是兩說了。因為外星人有沒有更是兩說呢。

　　這d，自然是直徑。這就等于取圓周率為3．1605，夠精確的了。

　　尼羅河定期泛濫，這樣，觀察好天象，研究好歷法可是件大事，這可真正是關(guān)系到能不能得到食物的事情。古埃及靠觀察天狼星來算得一年的日子。他們把一年定為365天，分為12個月，每月30天，年末外加5天。不過他們的天文學(xué)比起巴比倫人來，要遜色多了。

　　不過，埃及人在天文和幾何方面有另一項好記錄，他們造的神廟，能使一年中白天最長的那一天（也就是夏至），陽光可以直照入廟宇，照亮祭壇上的神像。小民們不知事情緣故，自然是驚恐地或驚訝地伏在神像下多叩頭了。

　　兩邊文明一一敘，讓咱們再回到華夏古國。

　　卻說這周公、商高的一番對話，自然使我們好激動。不過大家對只有“勾三、股四、弦五”這點(diǎn)內(nèi)容當(dāng)然不夠滿意。3、4、5 這一組數(shù)畢竟只是最好找的畢氏三數(shù)。

　　那么，商高們似乎并不僅僅停留在勾股定理的一些特殊情況。

　　《周髀算經(jīng)》中在擺談了一陣周公、商高的懇談后，又出現(xiàn)了一段榮方和陳子的問答。這榮方與陳子是何年何月何處人氏，典籍都沒有交代，想必不是名人，不像周公旦那樣名聲遠(yuǎn)播。但陳子的一席話卻是有歷史紀(jì)念碑般的作用，不可小覷。

　　陳子曰：“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得斜至日。”

　　陳子是在說，你想求出“斜至日”（弦），只要把勾股分別平方（自乘），然后相加，再對其開平方，也就是說：

　　這樣，我們的勾股定理就不限于3、4、5這些具體情況，而是有著對任意直角三角形都適用的一般形式。因此，盡管我們古人對勾股定理并沒有像希臘的畢達(dá)哥拉斯那樣去證明，但卻要早幾百年發(fā)現(xiàn)。

　　這《周髀算經(jīng)》是中國最古老的算書，大約在2000多年前寫成，主要記述的是周代的一些數(shù)學(xué)、天文知識。

　　“髀”的原意是股或股骨，所謂“髀者，股也”，就是這個意思。這里是用來指測量太陽影子的“表”了，也就是標(biāo)桿。想必當(dāng)初一開始用的標(biāo)桿就是動物的一段股骨。

　　“正晷者，勾也”，這是陳子對“勾”的說法，意思是影子的長。所以，這陳子得出勾股定理，是從測量太陽影子的工作中取得的。知道了標(biāo)桿的長和影子的長，就能把“斜至日”，也就是影子的未端與標(biāo)桿的頂端的那一段算出來。

　　陳子教導(dǎo)榮方說，夏至的時候到南面16000里的地方，冬至的時候南去135000里，正中午時候立一根桿子，就沒有影子了。

　　竹筒測日徑陳子的膽子倒確實不小，他居然測量起太陽的直徑！用的方法也很先進(jìn)。“即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空”，就是說用根空心的竹桿，直徑一寸，長八十寸（八尺），朝太陽去看，竹筒的那個圓（“空”）正好把“日”滿滿地套住，不留一點(diǎn)空。這也許就是“管窺蠡測”中的管窺吧。

　　接下來是用比例來計算日徑。竹筒口徑與筒長之比是 1：80，當(dāng)時認(rèn)為觀察者至太陽是100000里，如果沒日徑為D，那么：

　　D：100000＝l：8，

　　這樣得到：D＝1250里。

　　由于日地距離取十萬里誤差太大，當(dāng)然這里的日徑也與實際的相差太遠(yuǎn)，不過我們更應(yīng)該為陳子的勇氣，陳子的觀測方法和計算方法而驚嘆不已。

　　用比例來計算，來測量，遠(yuǎn)在三千年的中國就有這樣先進(jìn)的方法，真是太了不起了。

　　當(dāng)時在《淮南子》等書中也有這方面的內(nèi)容：“若使景（就是影子）與表相等，則高與遠(yuǎn)等也。”這“表”也就是前面說過的標(biāo)桿。

　　這可是個很有用的測量高度的方法。比如說我們現(xiàn)在想測量一下電視塔的高度，怎么辦呢？可以拿一根標(biāo)桿，立在太陽底下，等影子和標(biāo)桿的長度一樣了，趕緊再測量電視塔的影子，那么這電視塔影子的長度，就是它的高度了。

　　這里面用的就是相似三角形對應(yīng)線段成比例的知識。所以同學(xué)們自然會想到，倒不必一定要等到影子和標(biāo)桿一樣長再動手，任何時候只要有影子就都可進(jìn)行啦！

　　這影子的研究可是重要的很。在古代，沒有鐘，也沒有其他天文觀察儀器，全靠看太陽投射的影子來確定時間和節(jié)氣了。用來計算時間的，叫日晷，根據(jù)日晷的影子來確定一天的時間。用來定出節(jié)氣的，就是“髀”了，也就一根標(biāo)桿，根據(jù)一年里這根標(biāo)桿的影長，來定出二十四節(jié)氣。

　　《周髀算經(jīng)》中的“髀”是八尺長。這些古人首先測出影子最長的冬至和影子最短的夏至（當(dāng)然是中午時分的影子），分別是一丈三尺五寸和一尺六寸。

　　以冬至到夏至共有12個節(jié)氣，用12去除冬至與夏至的影長的差：

　　這就得到了從冬至開始，每個節(jié)氣影長減少的長度，正所謂：“八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分、六分分之一。”

　　這樣，每個節(jié)氣逐次相減，到了夏至以后又每個節(jié)氣逐次相增，《周髀》中就列出了中午時分，八尺“表”（即標(biāo)桿）的影長表。

　　同學(xué)們自不妨也弄個標(biāo)桿樹在自家門口，具體地測一測冬、夏至和其他節(jié)氣的影子，倒是件增長學(xué)問的好事情。

　　《骨髀》中給出的這些節(jié)氣影子的長度，實際就是一個等差數(shù)列。更值得注意的是，這其中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。

　　您瞧，不但有分?jǐn)?shù)，而且有角度，還出現(xiàn)了各種帶分?jǐn)?shù)。從 3500年前的阿摩斯草紙卷到十五、六世紀(jì)的歐洲，西域之人一直可憐而不幸地用著古埃及人所用的分?jǐn)?shù)，腦袋里弄得昏天黑地。可是在華夏古國，一開始就是先進(jìn)的十進(jìn)分?jǐn)?shù)，確實是獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷幾千年了。

　　《周髀》中周公、商高的交談中有“矩出于九九八十一”說法。說明“九九”表早已有之了。

　　說到“九九”表我們又想到了一件趣事。

　　春秋五霸之一的齊桓公想稱霸中華，開了個招賢館延聘賢才。但是招聘廣告貼出去多時了還未見有一個人上門，倒不是那時候各個單位卡住檔案不

　　放人，而是因為大家對齊桓公先生的誠意有點(diǎn)不相信。

　　話說有一天有一個人前來求見，齊桓公問道：“你有什么本領(lǐng)啊？”來人答曰“我會‘九九歌’”。

　　齊桓公撲哧一笑：“會背‘九九歌’也算是件本領(lǐng)嗎？”

　　這人不慌不忙地說：“這‘九九歌’確實不夠資格拿來作為見面禮，但是您對我這個只懂得“九九’的人都能重視重用的話，還愁比我高明的人不接踵而來嗎？”

　　齊桓公一聽精神一振，立即請講招賢館隆重招待。果然不出一個月，許多有識之士紛至沓來，投入“齊董事長”帳下效力。

　　這就告訴我們早在春秋時期，會背“九九歌”已經(jīng)很不稀奇，更不要說加、減、乘、除四則運(yùn)算了。

　　再說這春秋戰(zhàn)國乃百家爭鳴、百“子”并立的熱鬧時期，內(nèi)中單道一位姓墨名翟人稱墨子的先生。墨子是主張“非攻”的，是當(dāng)時“綠色和平組織的領(lǐng)導(dǎo)者”，他與咱中國工程技術(shù)的祖師爺魯班倒有過一段過節(jié)。

　　魯班是當(dāng)時有名的能工巧匠，會造各種器械，后來楚王把他延攬了去，造了攻城的云梯，準(zhǔn)備攻宋。

　　墨子一聽，立即從魯國出發(fā)，走了十天十夜，鞋都走沒了，就用破衣服裹一下腳。到得楚地，就給楚王做了番比喻，說了番道理。他說，你們楚國地方廣闊，宋國才一點(diǎn)點(diǎn)；楚國物產(chǎn)豐富，而宋國還比較貧困，何必去攻宋呢？不有點(diǎn)像一個富人去偷窮鄰居一樣可笑嗎？

　　楚王回答說，對是對，但現(xiàn)在魯班高級工程師已經(jīng)為寡人造了云梯了，一定要攻宋，沒辦法啦。

　　墨子笑道，那不要緊，我就和魯先生演練一下，來一次沙盤演習(xí)。咱要是斗敗了，掉臉就開路。

　　于是墨子解了衣帶做一個城的模樣，和魯班演習(xí)起攻守之策。魯工改變了9次攻城的戰(zhàn)術(shù)，墨子都把他擋了回去。魯班的攻城器械用完了，而墨老先生的守御辦法還富富有余。

　　魯班這時有些不起好心，對楚王說，我想還有最后一個辦法。誰知墨子微微一笑說，魯先生的意思是讓楚殺掉我，可惜遲了，我的弟子早已拿著守城器械在宋國恭候您的大駕呢。

　　這一場化干戈為玉帛的故事說明墨子和魯班都有相當(dāng)豐富的幾何知識。試想想，沒有幾何方面的認(rèn)識，城墻的建造，距離、高低、土方等測量，器械的修造，又怎么可能呢？要知道，當(dāng)時建筑中已開始繪制平面圖，圖上有建筑物的墻線、名稱和墻之間的距離等等。

　　墨子他老人家不僅實踐上數(shù)得著，理論上也獨(dú)樹一幟，有相當(dāng)水平。《墨子》就是一本包含著邏輯學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和幾何學(xué)等方面內(nèi)容的典籍。墨老先生用嚴(yán)格的邏輯方法來說明幾何概念，這種做法和古希臘亞里斯多德有些相似。而“亞先生”正是形式邏輯的鼻祖。

　　《墨子》中有19條數(shù)學(xué)方面的內(nèi)容，許多是與現(xiàn)代的觀念一致的。當(dāng)然不可避免地要提到矩形和圓，我們曾說過這是人類最早認(rèn)識的圖形。“方，柱隅四雜也”，墨子在這里所矩形說成是四條直邊、四個直角構(gòu)成的圖形，完全準(zhǔn)確、嚴(yán)密。對于圓，他是這樣說的：“圓，一中同長也。”中，就是圓心。幾乎不要解釋大家都明白，它和我們現(xiàn)在圓的定義是多么的一致！不但有定義，而且有圓的作法，“圓，規(guī)寫文也”，就是說圓是用圓規(guī)畫出的，終點(diǎn)與起點(diǎn)相重合（“交”）的曲線。

　　《墨子》中還讀到了分割問題，把一個物體從中間分開棄去一半，從剩余的一半中再棄去一半，如此分割下去，最后剩下一個不能分割的“端”，也就是一點(diǎn)。

　　這使大家想到古希臘一個著名的故事：飛毛腿阿基里斯和烏龜賽跑。

　　欲知后事如何，且聽下回分解。