——有生活的地方就有數(shù)學(xué)

　　相信很多人都會(huì)有這種印象：數(shù)學(xué)是一門深?yuàn)W的科學(xué)，除了在學(xué)校和課本可以念到外，在實(shí)際生活中很少看到它，而且在日常生活中，除了加減乘除外，就很少用到它。

　　對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)的人，他們?cè)谧x到一些數(shù)學(xué)家的傳記，或者關(guān)于他們的發(fā)現(xiàn)，往往會(huì)產(chǎn)生這樣的想法：這些人真的很聰明，如果不是天才怎么會(huì)發(fā)現(xiàn)這些難得的定理或理論呢？

　　這些看法和印象并不全部正確。今天我想告訴你的就是如果有天才的話，你也是一個(gè)天才。只要你有了一些基礎(chǔ)知識(shí)，你懂得一些研究的方法，也可以作一點(diǎn)研究，也會(huì)有新發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)并不是只有數(shù)學(xué)家才能研究的。

　　有生活的地方就有數(shù)學(xué)

　　人類靠著勞動(dòng)的雙手創(chuàng)造了財(cái)富，數(shù)學(xué)也和其他科學(xué)一樣產(chǎn)生于實(shí)踐。可以說(shuō)有生活的地方就有數(shù)學(xué)。

　　你看木匠要做一個(gè)橢圓的桌面，拿了二根釘釘在木板上，然后用一條打結(jié)的繩子和粉筆，就可以在木板上畫(huà)出一個(gè)漂亮的橢圓出來(lái)。

　　如果你時(shí)常郵寄信件，在貼郵票時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)這樣的現(xiàn)象：任何大于7元的整數(shù)款項(xiàng)的郵費(fèi)，往往可以用票面值3元和5元的郵票湊合起來(lái)。這里就有數(shù)學(xué)。

　　如果你是整天要拿著刀和鑊鏟在廚房里工作的廚子，看來(lái)數(shù)學(xué)是和你無(wú)緣。可是你有沒(méi)有想到就在你的工作也會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題。奇怪嗎？事實(shí)上是不奇怪的。

　　比方說(shuō)，你現(xiàn)在準(zhǔn)備煮“麻婆豆腐”，你把一大堆豆腐放在砧板上，如果你不想用手去動(dòng)豆腐，而想一刀刀切下去把豆腐切出越多塊越好。那么在最初一刀，你最多切出二塊，第二刀你切出四塊，第三刀你最多可以切出多少塊呢？你切了第五刀最多能切出多少塊呢？這里不是有數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？你會(huì)驚奇有一個(gè)公式可以算出第n刀得出的塊數(shù)。

　　我們每天或多或少都會(huì)和錢打交道。你可能也會(huì)注意到這樣的現(xiàn)象：任何一筆多于6元的整數(shù)款項(xiàng)可以用2元硬幣及5元紙幣來(lái)支付。

　　不是嗎？7元可以用一張2元和一張5元的紙幣來(lái)支付，8元可以用四張2元紙幣，9元可以用二張2元紙幣和一張5元紙幣去支付。一般情形怎么樣呢？

　　你說(shuō)這不是很容易嗎？如果錢數(shù)是偶數(shù)的話，我只要用若干張2元去應(yīng)付就行了，如果是奇數(shù)的話，我只要先付一張5元鈔票，剩下的是偶數(shù)款項(xiàng)，當(dāng)然就可以用2元紙幣去處理。是的，這里你就用到了整數(shù)的性質(zhì)。

　　從這些例子你可以看到數(shù)學(xué)是在日常生活中是有用的，如果你細(xì)心的話，以后你會(huì)發(fā)現(xiàn)就在你工作的地方會(huì)有一些數(shù)學(xué)問(wèn)題產(chǎn)生。

　　發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的秘訣

　　數(shù)學(xué)家是怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理呢？他們是否有一個(gè)秘訣？如果能知道那是多好啊！

　　是的，這里有一個(gè)秘訣，下面的一個(gè)真實(shí)故事就會(huì)告訴你秘訣是在哪里？

　　在中國(guó)湖南省的一個(gè)農(nóng)村生產(chǎn)隊(duì)，在1964年以前禾苗年年受到蟲(chóng)害，糧食老是不夠，畝產(chǎn)最多是五百多斤。

　　那里的蟲(chóng)害最厲害的是一種叫蟻螟的蟲(chóng)，它們能使稻枯心，農(nóng)民最初看到禾苗出現(xiàn)白線子才噴藥。可是農(nóng)藥噴了，蟲(chóng)卻沒(méi)治好。有一個(gè)農(nóng)民看到這種情形，他決定要想法子根治這種蟲(chóng)害，可是有人卻認(rèn)為他文化低，不可能做出這樣的事來(lái)？但是他不理會(huì)這些意見(jiàn)。當(dāng)?shù)谝淮�的螟蛾生出后，他就守在田邊觀看，看蛾子如何產(chǎn)卵，發(fā)現(xiàn)卵塊的地方就插標(biāo)記，記下產(chǎn)卵日期，看它什么時(shí)候孵化。不管刮風(fēng)下雨，日夜不離田邊，終于揭開(kāi)了秘密。掌握到了這種蟲(chóng)的生長(zhǎng)規(guī)律，于是就有法子消滅它。以后也控制了其它蟲(chóng)害，糧食畝產(chǎn)到目前增至一千二百多斤。

　　許多人承認(rèn)在科學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明：如物理上的落體定律，化學(xué)上的合成胰島素，鏈霉素，在生物上的發(fā)現(xiàn)遺傳規(guī)律，在醫(yī)學(xué)上用針灸醫(yī)治聾啞病癥者，都是需要依靠實(shí)驗(yàn)和觀察。我說(shuō)數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)也是靠觀察得來(lái)的，讀者不是會(huì)覺(jué)得奇怪嗎？

　　數(shù)學(xué)是研究一些數(shù)、形、集合、關(guān)系和運(yùn)算的性質(zhì)和變化的規(guī)律，人們是怎樣知道這些性質(zhì)和規(guī)律呢？

　　是不是像一些宣傳宗教的小冊(cè)子講，連那大名鼎鼎的17世紀(jì)的英國(guó)科學(xué)家牛頓，也是因?yàn)樗�很虔誠(chéng)，為上帝所寵愛(ài)，讓一個(gè)蘋果在他頭上掉下，啟發(fā)他發(fā)現(xiàn)物理上的《萬(wàn)有引力定律》？人的活動(dòng)是上帝在操縱嗎？

　　讓我們看一看 18世紀(jì)的一個(gè)大數(shù)學(xué)家歐拉（Leonard Euler1707—1783）的一些意見(jiàn)吧！

　　歐拉在他的一篇：《純數(shù)學(xué)的觀察問(wèn)題》的文章里寫道：“許多我們知道的整數(shù)的性質(zhì)是靠觀察得來(lái)，這發(fā)現(xiàn)早已被它的嚴(yán)格證明所證實(shí)。還有很多整數(shù)的性質(zhì)我們是很熟悉的，可是我們還不能證明；只有觀察引導(dǎo)我們對(duì)它們的認(rèn)識(shí)。因此我們看到在數(shù)論——它還不是一個(gè)完整的理論中，我們可以寄厚望于觀察：它能連續(xù)引導(dǎo)我們新的性質(zhì)，我們較后嘗試證明。那類靠觀察而取得的知識(shí)還沒(méi)有被證明，必需小心的和真理區(qū)別，像我們通常所說(shuō)它是靠歸納所得的。我們看過(guò)單純的歸納會(huì)引起錯(cuò)誤。因此我們要非常小心，不要把那一類我們靠觀察而由歸納得來(lái)的整數(shù)的性質(zhì)當(dāng)為正確無(wú)誤。事實(shí)上，我們要利用這發(fā)現(xiàn)為機(jī)會(huì)，去研究它的性質(zhì)，去證明它或反證它，這兩方面我們都會(huì)學(xué)到有用的東西。”（見(jiàn)《歐拉全集》第二冊(cè)）

　　歐拉是瑞士人，一生大部份時(shí)間是在俄國(guó)和德國(guó)的科學(xué)院度過(guò)，對(duì)這兩個(gè)國(guó)家特別是俄國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)展有很大的貢獻(xiàn)。他是最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，他在生之日已出版和發(fā)表五百多本書(shū)和文章，死后還留下二百多篇文章未發(fā)表，以及一大堆不太完整的手稿。

　　他的工作涉及的范圍很廣，單是數(shù)學(xué)就包含了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)的差不多所有的分枝，在物理、天文、水利等等一些較有實(shí)用的科學(xué)他也作出過(guò)貢獻(xiàn)。

　　從1909年開(kāi)始瑞士的自然科學(xué)會(huì)，準(zhǔn)備出版他的全集，他的全集到現(xiàn)在還沒(méi)有出完，他留在列寧格勒（現(xiàn)改名為圣彼得堡）的一大堆手稿，因?yàn)閮?nèi)容太多，到現(xiàn)在還要花許多時(shí)間和氣力去整理。

　　為什么歐拉能作出這樣多的發(fā)現(xiàn)呢？在那篇《純數(shù)學(xué)的觀察問(wèn)題》的文章里，他已告訴了你一個(gè)秘訣，就是：“依靠觀察得來(lái)的。”事實(shí)上歐拉也是一個(gè)善于觀察的數(shù)學(xué)家。

　　發(fā)現(xiàn)的工具是歸納和類比

　　18世紀(jì)的法國(guó)有一個(gè)農(nóng)民家庭出身的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家——拉普拉斯（Pierre—Simon de laplace 1749—1827）。拉普拉斯是現(xiàn)代概率論的奠基者之一。學(xué)物理的人對(duì)他很熟。

　　他有一個(gè)很好的品德，就是對(duì)于年青一代的數(shù)學(xué)家當(dāng)作自己的孩子，幫助他們和鼓勵(lì)他們。有一些人的發(fā)現(xiàn)事實(shí)上是他早在幾十年前就得到了，但他也是把這發(fā)現(xiàn)的榮譽(yù)讓給年青人而不是自己占有、或者像一些所謂“專家”對(duì)這些新生的力量，在妒忌之余，加以阻撓打擊。

　　拉普拉斯在關(guān)于概率論的哲學(xué)問(wèn)題的一篇文章里曾經(jīng)指出：“在數(shù)學(xué)這門科學(xué)里，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比（induction and analogy）。”這里他指出了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一個(gè)方法。