在小學數學中介紹了應用題的算術解法及常見的典型應用題。然而算術解法往往局限于從已知條件出發推出結論，不允許未知數參加計算，這樣，對于較復雜的應用題，使用算術方法常常比較困難。而用列方程的方法，未知數與已知數同樣都是運算的對象，通過找出“未知”與“已知”之間的相等關系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決。所以對于應用題，列方程的方法往往比算術解法易于思考，易于求解。
列方程解應用題的一般步驟是：審題，設未知數，找出相等關系，列方程，解方程，檢驗作答。其中列方程是關鍵的一步，其實質是將同一個量或等量用兩種方式表達出來，而要建立這種相等關系必須對題目作細致分析，有些相等關系比較隱蔽，必要時要應用圖表或圖形進行直觀分析。
一、列簡易方程解應用題
10x+1，從而有
3（105+x）=10x+1，
7x＝299999，
x＝42857。
答：這個六位數為142857。
說明：這一解法的關鍵有兩點：
示出來，這里根據題目的特點，采用“整體”設元的方法很有特色。
（1）是善于分析問題中的已知數與未知數之間的數量關系；（2）是一般語言與數學的形式語言之間的相互關系轉化。因此，要提高列方程解應用題的能力，就應在這兩方面下功夫。
例2 有一隊伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊伍有多長？
分析：這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊伍長。如果設通訊員從末尾到排頭用了x秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了（650-x）秒，于是不難列方程。
解：設通訊員從末尾趕到排頭用了x秒，依題意得
2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得x＝500。推知隊伍長為
（2.6-1.4）×500=600（米）。
答：隊伍長為600米。
說明：在設未知數時，有兩種辦法：一種是設直接未知數，求什么、設什么；另一種設間接未知數，當直接設未知數不易列出方程時，就設與要求相關的間接未知數。對于較難的應用題，恰當選擇未知數，往往可以使列方程變得容易些。
例3 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米/時，騎車人速度為10.8千米/時，這時有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？
分析：本題屬于追及問題，行人的速度為3.6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10.8千米/時=3米/秒。火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設火車的速度為x米/秒，那么火車的車身長度可表示為（x-1）×22或（x-3）×26，由此不難列出方程。
解：設這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得
（x-1）×22=（x-3）×26。
解得x=14。所以火車的車身長為
（14-1）×22=286（米）。
答：這列火車的車身總長為286米。
例4 如圖，沿著邊長為90米的正方形，按逆時針方向，甲從A出發，每分鐘走65米，乙從B出發，每分鐘走72米。當乙第一次追上甲時在正方形的哪一條邊上？
分析：這是環形追及問題，這類問題可以先看成“直線”追及問題，求出乙追上甲所需要的時間，再回到“環行”追及問題，根據乙在這段時間內所走路程，推算出乙應在正方形哪一條邊上。
解：設追上甲時乙走了x分。依題意，甲在乙前方
3×90=270（米），
故有
72x＝65x+270。
由于正方形邊長為90米，共四條邊，故由
可以推算出這時甲和乙應在正方形的DA邊上。
答：當乙第一次追上甲時在正方形的DA邊上。
例5 一條船往返于甲、乙兩港之間，由甲至乙是順水行駛，由乙至甲是逆水行駛。已知船在靜水中的速度為8千米/時，平時逆行與順行所用的時間比為2∶1。某天恰逢暴雨，水流速度為原來的2倍，這條船往返共用9時。問：甲、乙兩港相距多少千米？
分析：這是流水中的行程問題：
順水速度=靜水速度+水流速度，
逆水速度=靜水速度-水流速度。
解答本題的關鍵是要先求出水流速度。
解：設甲、乙兩港相距x千米，原來水流速度為a千米/時根據題意可知，逆水速度與順水速度的比為2∶1，即
（8-a）∶（8＋a）＝1∶2，
再根據暴雨天水流速度變為2a千米/時，則有
解得x=20。
答：甲、乙兩港相距20千米。
例6 某校組織150名師生到外地旅游，這些人5時才能出發，為了趕火車，6時55分必須到火車站。他們僅有一輛可乘50人的客車，車速為36千米/時，學校離火車站21千米，顯然全部路程都乘車，因需客車多次往返，故時間來不及，只能乘車與步行同時進行。如果步行每小時能走4千米，那么應如何安排，才能使所有人都按時趕到火車站？
趕到火車站，每人步行時間應該相同，乘車時間也相同。設每人步行x時，
客車能否在115分鐘完成。
解：把150人分三批，每批50人，步行速度為4千米/時，汽車速度為
解得x＝1.5（時），即每人步行90分，乘車25分。三批人5時同時出發，第一批人乘25分鐘車到達A點，下車步行；客車從A立即返回，在B點遇上步行的第二批人，乘25分鐘車，第二批人下車步行，客車再立即返回，又在C點遇到步行而來的第三批人，然后把他們直接送到火車站。
如此安排第一、二批人按時到火車站是沒問題的，第三批人是否正巧可乘25分鐘車呢？必須計算。
因此可以按上述方法安排。
說明：列方程，解出需步行90分、乘車25分后，可以安排了，但驗算不能省掉，因為這關系到第三批人是否可以按時到車站的問題。通過計算知第三批人正巧可乘車25分，按時到達。但如果人數增加，或者車速減慢，雖然方程可以類似地列出，卻不能保證人員都按時到達目的地。
二、引入參數列方程解應用題
對于數量關系比較復雜或已知條件較少的應用題，列方程時，除了應設的未知數外，還需要增設一些“設而不求”的參數，便于把用自然語言描述的數量關系翻譯成代數語言，以便溝通數量關系，為列方程創造條件。
例7 某人在公路上行走，往返公共汽車每隔4分就有一輛與此人迎面相遇，每隔6分就有一輛從背后超過此人。如果人與汽車均為勻速運動，那么汽車站每隔幾分發一班車？
分析：此題看起來似乎不易找到相等關系，注意到某人在公路上行走與迎面開來的車相遇，是相遇問題，人與汽車4分所行的路程之和恰是兩輛相繼同向行駛的公共汽車的距離；每隔6分就有一輛車從背后超過此人是追及問題，車與人6分所行的路程差恰是兩車的距離，再引進速度這一未知常量作參數，問題就解決了。
解：設汽車站每隔x分發一班車，某人的速度是v1，汽車的速度為v2，依題意得
由①②，得
將③代入①，得
說明：此題引入v1，v2兩個未知量作參數，計算時這兩個參數被消去，即問題的答案與參數的選擇無關。本題的解法很多，可參考本叢書《五年級數學活動課》第26講。
例8 整片牧場上的草長得一樣密，一樣地快。已知70頭牛在24天里把草吃完，而30頭牛就得60天。如果要在96天內把牧場的草吃完，那么有多少頭牛？
分析：本題中牧場原有草量是多少？每天能生長草量多少？每頭牛一天吃草量多少？若這三個量用參數a，b，c表示，再設所求牛的頭數為x，則可列出三個方程。若能消去a，b，c，便可解決問題。
解：設整片牧場的原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛一天吃草量為c，x頭牛在96天內能把牧場上的草吃完，則有
②-①，得
36b=120C。 ④
③-②，得
96xc=1800c＋36b。 ⑤
將④代入⑤，得
96xc＝1800c+120c。
解得x=20。
答：有20頭牛。
例9 從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時每小時行駛20千米，下坡時每小時行駛35千米。車從甲地開往乙從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？
解：從甲地到乙地的上坡路，就是從乙地到甲地的下坡路；從甲地到乙地下坡路，就是從乙地到甲地的上坡路。設從甲地到乙地的上坡路為x千米，下坡路為y千米，依題意得
①＋②，得
將y=210－x代入①式，得
解得x＝140。
答：甲、乙兩地間的公路有210千米，從甲地到乙地須行駛140千米的上坡路。
三、列不定方程解應用題
有些應用題，用代數方程求解，有時會出現所設未知數的個數多于所列方程的個數，這種情況下的方程稱為不定方程。這時方程的解有多個，即解不是唯一確定的。但注意到題目對解的要求，有時，只需要其中一些或個別解。
例10 六（1）班舉行一次數學測驗，采用5級計分制（5分最高，4分次之，以此類推）。男生的平均成績為4分，女生的平均成績為3.25分，而全班的平均成績為3.6分。如果該班的人數多于30人，少于50人，那么有多少男生和多少女生參加了測驗？
解：設該班有x個男生和y個女生，于是有
4x+3.25y=3.6（x+y），
化簡后得8x=7y。從而全班共有學生
在大于30小于50的自然數中，只有45可被15整除，所以
推知x＝21，y=24。
答：該班有21個男生和24個女生。
例11 小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套了10次，每次都套中了，每個小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。問：小明至多套中小雞幾次？
解：設套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次。根據得61分可列方程
9x+5y+2（10-x-y）=61，
化簡后得7x=41－3y。
顯然y越小，x越大。將y=1代入得7x=38，無整數解；若y=2，7x=35，解得x=5。
答：小明至多套中小雞5次。
例12 某縫紉社有甲、乙、丙、丁4個小組，甲組每天能縫制8件上衣或10條褲子；乙組每天能縫制9件上衣或12條褲子；丙組每天能縫制7件上衣或11條褲子；丁組每天能縫制6件上衣或7條褲子。現在上衣和褲子要配套縫制（每套為一件上衣和一條褲子）。問：7天中這4個小組最多可縫制多少套衣服？
分析：不能僅按生產上衣或褲子的數量來安排生產，應該考慮各組生產上衣、褲子的效率高低，在配套下安排生產。
我們首先要說明安排做上衣效率高的多做上衣，做褲子效率高的多做褲子，才能使所做衣服套數最多。
一般情況，設A組每天能縫制a1件上衣或b1條褲子，它們的比為在安排A組盡量多做上衣、B組盡量多做褲子的情況下，安排配套生產。這
的效率高，故這7天全安排這兩組生產單一產品。
設甲組生產上衣x天，生產褲子（7-x）天，乙組生產上衣y天，生產褲子（7-y）天，則4個組分別共生產上衣、褲子各為6×7＋8x+9y（件）和11×7＋10（7－x）＋12（7-y）（條）。依題意，得
42＋8x＋9y＝77＋70-10x＋84-12y，
令u＝42＋8x＋9y，則
顯然x越大，u越大。故當x=7時，u取最大值125，此時y的值為3。
答：安排甲、丁組7天都生產上衣，丙組7天全做褲子，乙組3天做上衣，4天做褲子，這樣生產的套數最多，共計125套。
說明：本題仍為兩個未知數，一個方程，不能有確定解。本題求套數最多，實質上是化為“一元函數”在一定范圍內的最值，注意說明取得最值的理由。
