例3 數一數，下圖中有多少個點?
解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖.
總點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2：補上一個同樣的三角形點群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立(見下圖)：
三角形點數=長方形點數÷2
因三角形點數=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長方形點數=10×9=(1+9)×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2=45.
進一步把兩種方法聯系起來看：
方法1是老老實實地直接數數.
方法2可以叫做“拼補法”.經拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數就可以用乘法算式計算出來了.
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2.
這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現了.
再進一步，若脫離開圖形(點群)的背景，純粹從數的方面找規律，不難發現下述事實：
這個等式的左邊就是從1開始的連續自然數相加之和，第一個數1又叫首項，最后一個數9叫末項，共有9個數又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：
從1開始的連續自然數前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數的積的一半.或是寫成下面的文字式：
和=(首項+末項)×項數÷2
這個文字式通常又叫做等差數列求和公式.
例4 數一數，下圖中有多少個點?
解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖：
總點數=2+3+4+5+6=20.
方法2：補上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示：
由圖可見，有下列等式成立：
梯形點數=長方形點數÷2.
因為梯形點數=2+3+4+5+6
而長方形點數=8×5=(2+6)×5
代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2
與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數的較為簡單的公式.
再進一步，若脫離開圖形(點群)的背景純粹從數的方面找找規律，不難發現下述事實：
這個等式的左邊就是一個等差數列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：
等差數列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數的積的一半.
寫成下面較簡化的文字式：
和=(首項+末項)×項數÷2
這就是等差數列的求和公式.
例5 數一數，下圖中有多少個小三角形?
解：方法1：從上至下一層一層地數，見下圖.
小三角形總數=1+3+5+7=16個.
方法2：補上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示.
顯然平行四邊形包含的小三角形個數等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數的兩倍，即下式成立.
大三角形中所含=平行四邊形所含÷2
平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個)
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7=(1+7)×4÷2
這樣，我們就得到了一個公式：
小三角形個數=(第一層的數+最末層的數)×層數÷2
脫離開圖形的背景，純粹從數的方面進行考察，找找規律，不難發現下述事實：
等式左邊就表示一個等差數列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數是4.這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述：
等差數列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數之積的一半.
寫成較簡單的文字式：
和=(首項+末項)×項數÷2.
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