學而思奧數天天練欄目每日精選中等、高等難度試題各一道。中難度試題適合一些有過思維基礎訓練、考題學習經歷，并且奧數成績中上的學生。高難度試題立足于杯賽真題、綜合應用和加深各知識點，適合一些志在競賽中奪取佳績的學生。

　　·本周試題由學而思教研部《小學奧數系統總復習》編者白亞娟老師精選、解析，以保證試題質量。

　　·每周末，我們將一周試題匯總為word版本試卷，您可下載打印或在線閱讀。

　　·每道題的答題時間不應超過15分鐘。答案明日公布！

    【計數專題】

　　1．難度：★★★

　　在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當沿著這些線段行走時，正好拼出"APPLE"的路線共有多少條？

　　【解析】要想拼出英語"APPLE"的單詞，必須按照"A→P→P→L→E"的次序拼寫．在圖中的每一種拼寫方式都對應著一條最短路徑．如下圖所示，運用標號法原理標號得出共有31種不同的路徑．

　　2．難度：★★★★

　　對一個自然數作如下操作：如果是偶數則除以2，如果是奇數則加1，如此進行直到得數為1操作停止．問經過9次操作變為1的數有多少個？

　　【解析】可以先嘗試一下，倒推得出下面的圖：

　　其中經1次操作變為1的1個，即2，

　　經2次操作變為1的1個，即4，

　　經3次操作變為1的2個，是一奇一偶，

　　以后發現，每個偶數可以變成兩個數，分別是一奇一偶，每個奇數變為一個偶數，于是，經1、2、…次操作變為1的數的個數依次為：1，1，2，3，5，8，…

　　這一串數中有個特點：自第三個開始，每一個等于前兩個的和，即即經過9次操作變為1的數有34個.

　　為什么上面的規律是正確的呢？

　　道理也很簡單.設經過n次操作變為1的數的個數為,則=1，=1，=2，…

　　從上面的圖看出，比大.

　　一方面，每個經過n次操作變為1的數，乘以2，就得出一個偶數，經過n+1次操作變為1；反過來，每個經過n+1次操作變為1的偶數，除以2，就得出一個經過n次操作變為1的數.所以經過n次操作變為1的數與經過n+1次操作變為1的偶數恰好一樣多.前者的個數是,因此后者也是個.

　　另一方面，每個經過n次操作變為1的偶數，減去1，就得出一個奇數，它經過n+1次操作變為1，反過來.每個經過n+1次操作變為1的奇數，加上1，就得出一個偶數，它經過n次操作變為1.所以經過n次操作變為1的偶數經過n+1次操作變為1的奇數恰好一樣多.

　　而由上面所說，前者的個數就是,因此后者也是.

　　經過n+1次操作變為1的數，分為偶數、奇數兩類，所以=+，即上面所說的規律的確成立.
 

    編輯推薦：

-------------------------------------------------------------------------------------

《小學奧數系統總復習》 圖書簡介

《小學奧數系統總復習》分 上下兩冊，涵蓋了奧數中8大專題，共設21講。每講設置4大模塊，即闖關目標、賽前熱身、實戰演練和逐級闖關，構建了完整的奧數知識體系，全面覆蓋小學奧 數知識。此外，本書對部分經典例題錄制了視頻，免費贈送給各位學員。本書附有2010年和2011年的北京集訓隊選拔試題，為本書增加了新的亮點。     為了讓大家更好的獲得知識、理解知識，本書設有論壇交流環節，讀者可以登錄E度論壇點擊進入圖書答疑帖，即可實現在線提問、交流心得，名師天天坐鎮論壇，等你來交流！