例2.    在任意的四個自然數中，是否其中必有兩個數，它們的差能被3整除？

　　分析與解：因為任何整數除以3，其余數只可能是0，1，2三種情形。我們將余數的這三種情形看成是三個"抽屜"。一個整數除以3的余數屬于哪種情形，就將此整數放在那個"抽屜"里。

　　將四個自然數放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數，也就是說至少有兩個數除以3的余數相同。這兩個數的差必能被3整除。

　　例3.    在任意的五個自然數中，是否其中必有三個數的和是3的倍數？

　　分析與解：根據例2的討論，任何整數除以3的余數只能是0，1，2。現在，對于任意的五個自然數，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數，于是可分下面兩種情形來加以討論。

　　第一種情形。有三個數在同一個抽屜里，即這三個數除以3后具有相同的余數。因為這三個數的余數之和是其中一個余數的3倍，故能被3整除，所以這三個數之和能被3整除。

　　第二種情形。至多有兩個數在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數，在每個抽屜里各取一個數，這三個數被3除的余數分別為0，1，2。因此這三個數之和能被3整除。

　　綜上所述，在任意的五個自然數中，其中必有三個數的和是3的倍數。

　　二、鞏固訓練

　　1.    有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數與桔子的總數都是偶數？

　　分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個數關系，因此可以從水果個數的奇、偶性上來考慮抽屜的設計。

　　對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數分別都有奇數與偶數兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數的搭配就有4種情形：

　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），

　　其中括號中的第一個字表示蘋果數的奇偶性，第二個字表示桔子數的奇偶性。

　　將這4種情形看成4個抽屜，現有5堆水果，根據抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數加奇數為偶數，偶數加偶數仍為偶數，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數與桔子的總數都是偶數。

　　2.    用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

　　分析與解：用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

　　將上面的四種情形看成四個"抽屜"。根據抽屜原理，將五列放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

　　在上面的幾個例子中，例1用一年的366天作為366個抽屜；例2與例3用整數被3除的余數的三種情形0，1，2作為3個抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數與桔子數的奇偶搭配情形作為4個抽屜；例6將每列中兩個小方格涂色的4種情形作為4個抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關鍵，在于恰當地構造抽屜。

　　3.    在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？

　　分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

　　將每段線段看成是一個"抽屜"，一共有10個抽屜。現在將這11個點放到這10個抽屜中去。根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）。由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當然不會大于1厘米。

　　所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于1厘米。

　　三、拓展提升

　　1.    有5個小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.請你證明，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。

　　分析與解答 首先要確定3枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4種配組情況，看作4個抽屜.把每人的3枚棋作為一組當作一個蘋果，因此共有5個蘋果.把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應的抽屜.由于有5個蘋果，比抽屜個數多，所以根據抽屜原理，至少有兩個蘋果在同一個抽屜里，也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。

　　2.    一副撲克牌（去掉兩張王牌），每人隨意摸兩張牌，至少有多少人才能保證他們當中一定有兩人所摸兩張牌的花色情況是相同的？

　　3.

　　分析與解答 撲克牌中有方塊、梅花、黑桃、紅桃4種花色，2張牌的花色可以有：2張方塊，2張梅花，2張紅桃，2張黑桃，1張方塊1張梅花，1張方塊1張黑桃，1張方塊1張紅桃，1張梅花1張黑桃，1張梅花1張紅桃，1張黑桃1張紅桃共計10種情況.把這10種花色配組看作10個抽屜，只要蘋果的個數比抽屜的個數多1個就可以有題目所要的結果.所以至少有11個人。

　　4.    從2、4、6、…、30這15個偶數中，任取9個數，證明其中一定有兩個數之和是34。

　　分析與解答 我們用題目中的15個偶數制造8個抽屜：

　　凡是抽屜中有兩個數的，都具有一個共同的特點：這兩個數的和是34。

　　現從題目中的15個偶數中任取9個數，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數的和是34。

　　（十二） 倒推法的妙用

　　師說："這里有10張紙牌，依次寫著1-10，我閉上眼睛，你任意抽一張出來。""好，已抽好了。"乙回答道。"嗯，把你的那張紙牌上的數乘上6再加9，然后除以3再加上2。算好后告訴我得數是幾。（可任意找學生抽卡片）

　　乙又說："得數是23。"

　　那她抽的那一張是幾呢？

　　這個數是9，我們怎么知道？同學們，你們都知道其中的奧秘嗎？

　　讓這節課來告訴大家吧，

　　利用倒推法，倒推法是根據加法與減法、乘法與除法互相逆運算的關系，從最后的得數出發。因為23是加上2后得到的，就要減去2，得21；21除以3后得到的，就要乘上3，得63；63是加上9后得到的，就就要減去9得54；54是乘上6后得到的，就要除以6，得9。所以乙抽到的那一張一定是9。一些游戲，只要你知道其中的奧秘后，你就不會大驚小怪了。

　　一、例題與方法指導

　　例1. 喜迎奧運，猜年齡:劉翔的年齡除以4再減去2,乘25正好是100.你知道劉翔今幾歲嗎 ？

　　思路導航：

　　① 100÷25+2×4 ② 100÷(25+2×4) ③ (100÷25+2)×4到底是哪個呢？

　　倒推法的方法：從結果出發，從后向前運算，并且每個運算變成它的逆運算。正確答案③

　　例2. 籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？

　　思路導航：

　　依題意，畫圖進行分析.

　　解：列綜合算式：

　　｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

　　＝22（個）

　　答：籃子里原有梨22個.

　　例3. 菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現有白菜的一半又30千克，結果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？

　　思路導航：

　　解題時用倒推法進行分析.根據題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數量關系清晰的展現出來.

　　解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）