數(shù)學(xué)史海覽勝：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不存在的，即便以確定無(wú)疑著稱(chēng)的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，例如正與負(fù)、加與減、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮、連續(xù)與離散、存在與構(gòu)造、邏輯與直觀、具體對(duì)象與抽象對(duì)象、概念與計(jì)算等等。

　　在數(shù)學(xué)史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。當(dāng)矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。而危機(jī)的解決，往往能給數(shù)學(xué)帶來(lái)新的內(nèi)容、新的發(fā)展，甚至引起革命性的變革。

　　數(shù)學(xué)的發(fā)展就經(jīng)歷過(guò)三次關(guān)于基礎(chǔ)理論的危機(jī)。

　　第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

　　從某種意義上來(lái)講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)，來(lái)源予古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。它是一個(gè)唯心主義學(xué)派，興旺的時(shí)期為公元前500年左右。他們認(rèn)為，“萬(wàn)物皆數(shù)”(指整數(shù))，數(shù)學(xué)的知識(shí)是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界，數(shù)學(xué)的知識(shí)由于純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺(jué)和日常經(jīng)驗(yàn)。

　　整數(shù)是在對(duì)于對(duì)象的有限整合進(jìn)行計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計(jì)算單個(gè)的對(duì)象，還要度量各種量，例如長(zhǎng)度、重量和時(shí)間。為了滿(mǎn)足這些簡(jiǎn)單的度量需要，就要用到分?jǐn)?shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個(gè)整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分?jǐn)?shù)，所以對(duì)于進(jìn)行實(shí)際量度是足夠的。

　　有理數(shù)有一種簡(jiǎn)單的幾何解釋。在一條水平直線上，標(biāo)出一段線段作為單位長(zhǎng)，如果令它的定端點(diǎn)和右端點(diǎn)分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長(zhǎng)的點(diǎn)的集合來(lái)表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負(fù)整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分?jǐn)?shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點(diǎn)表示。于是，每一個(gè)有理數(shù)都對(duì)應(yīng)著直線上的一個(gè)點(diǎn)。

　　古代數(shù)學(xué)家認(rèn)為，這樣能把直線上所有的點(diǎn)用完。但是，畢氏學(xué)派大約在公元前400年發(fā)現(xiàn)：直線上存在不對(duì)應(yīng)任何有理數(shù)的點(diǎn)。特別是，他們證明了：這條直線上存在點(diǎn)p不對(duì)應(yīng)于有理數(shù)，這里距離op等于邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線。于是就必須發(fā)明新的數(shù)對(duì)應(yīng)這樣的點(diǎn)，并且因?yàn)檫@些數(shù)不可能是有理數(shù)，只好稱(chēng)它們?yōu)闊o(wú)理數(shù)。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派的最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。

　　無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。首先，對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)，這是一次致命的打擊。其次，無(wú)理數(shù)看來(lái)與常識(shí)似乎相矛盾。在幾何上的對(duì)應(yīng)情況同樣也是令人驚訝的，因?yàn)榕c直觀相反，存在不可通約的線段，即沒(méi)有公共的量度單位的線段。由于畢氏學(xué)派關(guān)于比例定義假定了任何兩個(gè)同類(lèi)量是可通約的，所以畢氏學(xué)派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，這樣，他們的關(guān)于相似形的一般理論也失效了。

　　“邏輯上的矛盾”是如此之大，以致于有一段時(shí)間，他們費(fèi)了很大的精力將此事保密，不準(zhǔn)外傳。但是人們很快發(fā)現(xiàn)不可通約性并不是罕見(jiàn)的現(xiàn)象。泰奧多勒斯指出，面積等于3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約，并對(duì)每一種情況都單獨(dú)予以了證明。隨著時(shí)間的推移，無(wú)理數(shù)的存在逐漸成為人所共知的事實(shí)。

　　誘發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的一個(gè)間接因素是之后“芝諾悖論”的出現(xiàn)，它更增加了數(shù)學(xué)家們的擔(dān)憂：數(shù)學(xué)作為一門(mén)精確的科學(xué)是否還有可能？宇宙的和諧性是否還存在？

　　在大約公元前370年，這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過(guò)給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法，出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年繪出的無(wú)理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理，仍然反映出由不可通約量而帶來(lái)的某些困難和微炒之處。

　　第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)受到極大的沖擊。于是，幾何學(xué)開(kāi)始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。同時(shí)也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開(kāi)始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系。這是數(shù)學(xué)思想上的一次革命，是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

　　回顧在此以前的各種數(shù)學(xué)，無(wú)非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去的。例如，泰勒斯預(yù)測(cè)日食、利用影子計(jì)算金字塔高度、測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國(guó)、印度等國(guó)的數(shù)學(xué)，并沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)這樣的危機(jī)和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。而由于第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學(xué)則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學(xué)作出了另一種杰出的貢獻(xiàn)。

　　但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對(duì)無(wú)理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。