數學史海覽勝：第三次數學危機

　　數學基礎的第三次危機是由1897年的突然沖擊而出現的，從整體上看到現在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由于集合概念已經滲透到眾多的數學分支，并且實際上集合論已經成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。

　　1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年后，康托發現了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，羅素發現了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。

　　羅素，英國人，哲學家、邏輯學家、數學家。1902年著述《數學原理》，繼而與懷德海合著《數學原理》(1910年～1913年)，把數學歸納為一個公理體系，是劃時代的著作之一。他在很多領域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學獎。他關心社會現象，參加和平運動，開辦學校。1968～1969年出版了他的自傳。

　　羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發師的困境。理發師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答復下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。

　　羅素悖論使整個數學大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷本末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我就置于這種境地”。狄德金原來打算把《連續性及無理數》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發現拓撲學中“不動點原理”的布勞恩也認為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點原理。

　　自從在康托的集合論和發現上述矛盾之后，還產生了許多附加的悖論。集合論的現代悖論與邏輯的幾個古代悖論有關系。例如公元前四世紀的歐伯利得悖論：“我現在正在做的這個陳述是假的”。如果這個陳述是真的，則它是假的；然而，如果這個陳述是假的，則它又是真的了。于是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的還有埃皮門尼德(公元前6世紀，克利特人)悖論：“克利特人總是說謊的人”。只要簡單分析一下，就能看出這句話也是自相矛盾的。

　　集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從發現它們之后，人們發表了大量關于這個課題的文章，并且為解決它們作過大量的嘗試。就數學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。

　　第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的，以后還有多人進行了加工。但是，此程序曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現別種悖論。

　　另一種程序既能解釋又能排除已知悖論。如果仔細地檢查就會發現：上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M(既M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環的。例如，考慮羅素的理發師悖論：用M標志理發師，用S標示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給并且只給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環的性質是顯然的——理發師的定義涉及所有的成員，并且理發師本身就是這里的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數學是數學家很不愿丟棄的，例如定理“每一個具有上界的實數非空集合有最小上界(上確界)”。

　　解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結，這帶來了邏輯基礎的全面研究。

　　從1900年到1930年左右，數學的危機使許多數學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數學的根本，因此必須對數學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。

　　1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論黯淡了下來。此后，各派力量沿著自己的道路發展演化。盡管爭論的問題遠未解決，但大部分數學家并不大關心哲學問題。直到近年，數學哲學問題才又激起人們的興趣。

　　承認無窮集合、承認無窮基數，就好象一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的確定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次數學危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續著。

　　數學中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機就不可避免。危機的解決給數學帶來了許多新認識、新內容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數學同以前全部數學相比，內容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論，數理邏輯也興旺發達成為數學有機體的一部分。古代的代數幾何、微分幾何、復分析現在已經推廣到高維。代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之后，新成果層出不窮，從來間斷。數學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們同數學中的矛盾、危機斗爭的產物。