小學數學故事：美國大選

　　2008年11月4日，美國總統大選讓奧巴馬成為美國歷史上第一個黑人總統，也讓這個日子永載史冊。美國媒體在之前的宣傳中紛紛稱之為“你一生中最重要的一次投票”，——事實上，每次投票之前都會有類似的宣傳出現，但是這一次也許是最貼切的。

　　既然有投票，就有事前的機關算盡，事后的敗寇成王。美國人的情緒在那個特殊的夜晚激烈地動蕩著，藕粉們（奧巴馬的支持者）紛紛稱之為美國歷史的新紀元，麥片們（麥凱恩的支持者）憤憤不平地說奧巴馬只不過靠巧言令色才竊得大位，稀飯們（希拉里的支持者）則黯然神傷，來來去去想的都是“要是希拉莉當時贏了民主黨初選……”。而在大洋此岸的中國，借助互聯網的幫助，大家也紛紛密切注視著這次大選中的種種風吹草動。在論壇里，在博客上，大家理直氣壯地談論著發生在另一個國家里的選舉，在指點江山的快意之外，也心照不宣的把它視為某種意義上的借鏡。由于眾所周知的原因，我們對于投票這件事情的了解幾乎總是匱乏的，隔岸觀火，也不失為一個學習投票常識的辦法。

　　“且慢，”也許你會有異議，“如果說選舉過程中的政治操作需要學習還可以接受的話，投票本身還有什么知識可言？一人一票的統計就是了啊。”

　　當然不僅如此。正如我們所知，美國的選舉制度并非是簡單的一人一票。事實上，“一人一票”并不一定是個自然的辦法——甚至也不一定是個好辦法。

　　讓我們從下面這個簡單的例子開始。假設有一組人要從ABC三個候選人中選出一個來擔任某項職務。大家對這三個人的內心偏好列如下表：

　　有2個人認為A優于B優于C

　　有3個人認為A優于C優于B

　　有2個人認為C優于B優于A

　　有4個人認為B優于C優于A

　　現在大家投票。按照每人投一票的原則，每個人給他心中最勝任的人選投上一票，結果是A得5票，B得4票，C得2票，排名是A高于B高于C，最后A當選。看起來沒什么問題。

　　如果換一個規則，假定大家認為每人一票不足以反映民意，決定仍然按照上面的偏好順序投票，但是每個人分別投兩票給他認為最勝任和次勝任的人選，那么結果會有多大差別？計算一下就會發現，最后A得5票，B得8票，C得9票，排名是C高于B高于A，當選的是C，原先票數最高的A反而墊底！

　　上述怪誕的事實說明，在選民意志不變的情形下，選舉規則的改變有時會在根本上顛覆（而非像直覺告訴我們的那樣至多小幅改變）選舉的結果。事實上，你很容易想到，除去上面所說的一票制和兩票制，還有很多別的看似公平的選舉方式，例如數學家J.Borda在1770年批評法蘭西科學院選舉制度時提出來的Borda計票法。Borda認為如果每個人只投一票，那么選民對自己心目中除最優者之外的選項的偏好順序就完全無從在選舉中得以表達，而每人投兩票或者更多票也不公平，因為那抹煞了每個人心目中最優和次優的區別。他建議，比方說還是有三個候選人的情況下，每個人給心目中的最優者投兩票，次優者投一票，第三名不投票，這是最能完整表達投票者偏好順序的方式。如果你把這個規則應用到上面那個實例，結果會變成A得10票，B得12票，C得11票，排名是B高于C高于A，最后當選的是B。——又是一個新結果。

　　事實上，把上面的論述抽象化一點。無論是一票制，兩票制，還是Borda投票制，都可以看成排序投票制的特例。所謂排序投票就是每個人給候選人在心中排好一個偏好次序，然后給每個次序上的人投一定票數。這聽起來是很合理的辦法，唯一的區別只是第幾名到底投幾票而已，而數學家D.Saari卻在上世紀末給出了下面這個荒謬的定理：

　　如果有n名候選人，那么可以找到合適的一組選民，使得這組選民在偏好不變的情況下，由不同的排序投票制給出多達(n-1)(n-1)！種不同的投票結果（這是一個非常大的組合數）。不僅如此，如果n>3，那么可以找到合適的一組選民，使得在選民偏好不變的情況下任何候選人都通過選擇一個合適的排序投票制當選。