小學數學故事：數列的由來

　　從前，有一個窮光棍，平時只知好吃懶做，不肯踏踏實實做事情，還經常想入非非做發財夢。一天，他在路邊撿到一個雞蛋，他非常高興，捧著雞蛋就在腦子里就盤算開了：“我借別人的母雞把這個蛋孵成小雞，等小雞長大了，就可以生蛋，我再把生的蛋孵成雞，這些雞又可以生更多的蛋，蛋又可變成更多的雞……過不了幾年，我就可以把蛋和雞去換許多錢，然后可以蓋新房，還可以娶個漂亮媳婦，生兒育女……”他越想越高興，不禁得意忘形手舞足蹈，忽聽“啪”的一聲，雞蛋掉在地上，碎了！懶漢看著摔碎了的雞蛋，放聲痛哭：“哎呀，我的寶貝！我的房子呀！……”

　　上面這則笑話流傳已久，對我們很有教育意義，然而恐怕誰都沒有認真計算過：如果雞蛋沒有打碎，幾年后這個懶漢究竟有多少只雞，多少個蛋呢？不過，公元1202年，一位意大利比薩的商人斐波拉契（Fibonacci，約1170－1250？）在他的《算盤全書》（這里的“算盤”指的是計算用沙盤）中提出過一個“養兔問題”，卻被無數人算過。這道題說的是：

　　某人買回一對小兔，一個月后小兔長成大兔。再過一個月，大兔生了一對小兔，以后，每對大兔每月都生一對小兔，小兔一個月后長成大兔。如此下去，問一年后此人共有多少對兔子？

　　你能算清嗎？不少同學恐怕看完題就已經動手算了，而且很快就算出了答案。不過對不對可不敢保證。說實在的，這題要算對并不那么容易，這可要不慌不忙細心地算才行。

　　通常可以列一個表來算這個題：

　　填了幾行后，你就可以總結出幾條結論：

　　（1）每個月的大兔子數就是上個月的兔子總數。（因上個月的小兔這個月都長成大兔）

　　（2）每個月的小兔子數就是上個月的大兔數。（因上月大兔子這個月都需生一對小兔，而上個月的小兔這個月長成大兔但不生兔子。）由（1）可知：每月小兔數就是前月的兔子總數。

　　（3）每月兔子總數是當月大、小兔子數的和。由（1）、（2）知每月兔子數就等于上月與前月這兩個月兔子數的和。

　　若記第n個月的兔子數為fn，就有

　　f0＋f1＝f2，f1＋f2＝f3，f2＋f3＝f4……

　　一般的，有fn-2＋fn-1=fn。有了這個規律，填這個表就很容易了。

　　你看，養一對兔子，一年之后就會發展壯大成了一個養兔場了。

　　按這個規律，可以把兔子數一直寫下去：

　　1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，……。

　　這樣得出的一列數就稱為“斐波拉契數列。”

　　波蘭數學家史坦因豪斯在其名著《數學萬花筒》中提出一個問題：

　　一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝又可每年長出一條新枝，如此下去，十年后新枝將有多少？

　　這恰好也可以得到“斐波那契數”。

　　人們從“斐”數出發得到了很多有益的和有趣的結果。比如“斐”數與黃金分割（0.618）的關系，直到現在還在優選法和運輸調度理論中起著基本原理的作用；又如種向日葵的農場主在葵花籽的分布規律上發現了“斐”數，乃至好多植物的花瓣葉序上發現的“斐”數奇觀形成了至今未解的“葉序之迷”。可見一個“養兔問題”竟揭示了大自然的一個普遍存在的奧秘。