小學數學故事：徹底解決“四色問題”

　　地圖“四色問題”（又稱“四色猜想”）最早由英國大學生法蘭西斯？古特里（FrancisGuthrie）于1852年在繪制地圖時發現，他卻找不出科學肯定的證明就去請教他在倫敦大學讀書的哥哥費特里克？古特里（FrederickGuthrie）。兄弟倆搞了好些日子還是證明不了，就由哥哥去向倫敦大學的老師、當時非常著名的數學家奧古斯都？德？摩根（Augustusdemorgan）請教，摩根教授當時也證明不了，就至函他在三一學院的好友――著名數學家威廉？哈密爾頓（WilliamRowanHamilton），希望他能幫助證明。可哈密爾頓對這個問題研究了十三年，到死也沒能給出證明。自從1879年至今全世界不斷有人提出證明了“四色問題”，可是都叫人難以信服，不斷又被別人否定，至今這個“四色問題”仍與“哥德巴赫猜想”及“費馬最后定律”一起被全世界公認為數學史上最著名的三大難題。

　　本人2004年夏天剛接觸到“拓撲學”，試著用“拓撲學”的方法去分析“四色問題”，只化半小時左右時間就證明了“四色問題”。我寫的《關于“四色問題”的證明》（以下簡稱《證明》，可在電腦中文搜索欄打入“四色問題”或作者姓名“焦永溢”查看）2004年底在許多數學網站上刊登出來后，看了的人很多認為非常正確；但也有一部分不明白的人認為證明了“相互間有連線的點不多于四個”并不是證明了“四色問題”，他們認為四點相互間有連線只是平面圖上的局部現象，不能代表整個平面圖，還提出比如中間一個點周圍五個點的圖形并沒有四個點之間相互有連線卻也要四種顏色。可我在這里要再強調一下：《證明》中三個定理概括講就是“三點必閉，四點必圍，五點必斷”，并沒有說一定要四點相互間有連線才需四色，證明“四色問題”關鍵在于“五色必斷”。《證明》中分析了第五點E落在封閉圖形ABC以內及以外的情況，也提到了第五點若落在連線上必定會隔斷這條連線，只是沒有把隔斷的情況用圖畫出來，其實一畫出來也是與另兩種情況一樣：三點包圍一點，另一點又被小的封閉圖形所包圍。下面我再從第五點開始，接著第六點、第七點、第八點……直到無窮多點的情況下證明“四色永遠足夠”。

　　為了使分析的圖形更直觀明了，可以換一個角度來看四點相互間有連線的圖形：把封閉圖形放在球面上，各點間距離均勻，拉直各條連線，圖形就成了一個正三棱錐。圖1就是把ABC面當底，D點當頂點從上向下的俯視圖，若把三棱錐翻一個面，比如將B點當頂點，ACD面就成了底面，所以外面三條線其實與里面三條線是一樣的，圖形的外面實際上就是三棱錐的底面，三棱錐的底面與三個側面其實也是一樣的。這樣任何第五點只有放在三個小三角形（側面）中間及里面三條連線（棱線）上兩種情況。

　　當第五點放在任一小三角形中間，顯而易見這點只能與周圍的三個點有連線（如圖1中E點），并且又把小三角形分隔成三個更小的三角形，這樣只要第六點、第七點……一直到任意多點都落在三角形中間，每一點都只能與包圍它的三點有連線，所以無論有多少個點“四色足夠”。

　　當第五點放在中間任一連線（包括以上更小更更小的連線）上時（如圖2中E點所示），E點成了三角形ABD與三角形ACD公共邊AD中間的點，這樣實際上形成了ABDE及ACDE兩個四邊形，而最大平面圖中是不存在多邊形的。若E點與B點有連線，A點與D點從右邊仍有連線，那么E點又變成了三角形ABD中間的點；若E點與C點有連線，A點與D點從左邊有連線，那么E點又變成了三角形ACD中間的點；若E點與B點及C點都有連線，那么A點與D點的連線必被E點隔斷，這就是《證明》中的“五點必斷”，再看看這時整個圖變成了E點被三角形ABC所包圍取代了D點原來的地位，而D點反過來被三角形EBC所包圍。接下來第六點、第七點……一直到任何多點都可落在任何一條公共邊上，最后都會變成與上面的幾種情況一樣，形成大三角形里面包含小三角形，小三角形包含更小三角形……這樣可以一級級的無限延續下去。

　　所以最后可以肯定地說“任何復雜的平面圖都是由大小不等的三點包圍一點圖所組成，所以也就只要有四種顏色就足夠能使有連線的點顏色不同。

　　這樣簡單的證明其實摩根教授在1860年就已經提出來，但馬上又被他自己所否定，他主要是把中間一點周圍五點的圖看成是最大平面圖，沒有把五棱錐底面的五邊形進行分割，所以也就看不到所有點都可變成被三點包圍，這一疏略把這么簡單的“四色問題”變成了千古難題，一百五十多年來肯定有許多人其實證明了“四色問題”，但都被摩根的這個否定給否定掉了。否定我的《證明》的人其實也是與摩根教授一樣的想法。

　　在這里我還要肯定地說：以前有人用“窮舉法”借助電子計算機所謂的證明肯定是不完全的，圖形的變化是無窮的，用成千上萬的個例是根本無法去“窮舉”完無窮數的。就象“七橋問題”可以用“窮舉法”證明，可是變成“八橋、九橋、十橋……無數橋的問題”，難道也能用電子計算機去一一證明嗎？