例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是8∶5，開支的錢數(shù)之比是8∶3，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？

　　解一：我們采用“假設”方法求解.

　　如果他們開支的錢數(shù)之比也是8∶5，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應是8∶5.張家結(jié)余240元，李家應結(jié)余x元.有

　　240∶x=8∶5，x=150（元）.

　　實際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是8∶5中5份與8∶3中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出

　　答：張家收入720元，李家收入450元.

　　解二：設張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.

　　我們畫出一個示意圖：

　　張家開支的3倍是（8份-240）×3.

　　李家開支的8倍是（5份-270）×8.

　　從圖上可以看出

　　5×8-8×3=16份，相當于

　　270×8-240×3=1440（元）.

　　因此每份是1440÷16=90（元）.

　　張家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.

　　本題也可以列出比例式：

　　（8x-240）∶（5x-270）=8∶3.

　　然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術味道，而且一些數(shù)量關系也直觀些.

　　例14 A和B兩個數(shù)的比是8∶5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).

　　解：減少相同的數(shù)34，因此未減時，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用這一點.

　　8∶5，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2∶1，兩者相差1.將前項與后項都乘以3，即2∶1=6∶3，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是34∶2=17.

　　A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.

　　答：A，B兩數(shù)分別是136與85.

　　本題也可以用例13解一“假設”方法求解，不過要把減少后的2∶1，改寫成8∶4.

　　例15 小明和小強原有的圖畫紙之比是4∶3，小明又買來15張.小強用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是5∶2.問原來兩人各有多少張圖畫紙？

　　解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.

　　4+3=7，5+2=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，

　　新的1份=原來1份+1

　　原來4份，新的5份，5-4=1，因此

　　新的1份有15-1×4=11（張）.

　　小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），

　　小強原有圖畫紙11×2+8=30（張）.

　　答：原來小明有40張，小強有30張圖畫紙.

　　解二：我們也可采用例13解一的“假設”方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)（實際上就是通分）

　　4∶3=20∶15

　　5∶2=20∶8.

　　但現(xiàn)在是20∶8，因此這個比的每一份是

　　當然，也可以采用實質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.

　　解三：設原來小明有4“份”，小強有3“份”圖畫紙.

　　把小明現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘2，小強現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：

　　從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.

　　因此每份是10張，原來小明有40張，小強有30張.

　　例11至15這五個例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運算，對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發(fā)小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維.